* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 151 Из (1), далее, имеем: а— 6<а. (2) Здесь и ниже предполагается (если нет других указаний), что все встречающиеся разности существуют. Справедливо равенство (а — b)c=ac ибо (а — b) с-\Далее из (1) и (3) следует а) а Ьс=ас. — be, (3) —b= c— d = b-\-c\ + c)-(b + d); (4) тогда и только тогда, когда a-\-d б) (a-b) + (c-d)=(a в) г) Теорема а — Ь^а— (а — Ь) — (с — d)=(a-\-d) —ф + с); (а— b)(c — d) = (ac-\-bd)— (ad-\-bc). 2. Из а) ЬЩс следует соответственно б) с, и обратно. Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем, что из б) следует а). Прибавив к обеим частям б) Ь-\-с, получим (§ 14, теорема 2) :а-\-с ^ a - j - f e , откуда (§ 14, теорема 3) с^Ь, ьЩс. Таким образом из а) следует б). О п р е д е л е н и е 2. Делением называется действие, обратное умножению, т. е. соответственно сопоставляющее с числами а и b число ^ — а:Ь (называемое частным a b а и Ь) такое, что (5) ' b = a. Из 1 ^ b следует: а ^ ab, причём знак = имеет место лишь для Отсюда и из (5) а а Ь=1. (7) (6) со знаком = лишь при 6 = 1 . Как и в случае вычитания, здесь и ниже предполагается, что все написанные частные существуют. Т е о р е м а 3. Из и обратно. а) ьЩ^с следует соответственно б ) ~ ^ —, с