* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 149 Условия (1) и (3) определяют значения данных функ­ ции числа k для k = l а условия (2) и (4) играют роль ре­ куррентных соотношений в пункте в) леммы. По лемме к к 9 существуют единственные функции У^ г f=i 9 а и J J * > заданные на от/= 1 a резке \1 п\ и обладающие соответственно свойствами (1), (2) и (3), (4). Поэтому определение 2 имеет точный смысл* З а м е ч а н и е * До сих пор при построении арифметики нату­ ральных чисел (начиная с § 11) мы нигде не пользовались теоре­ мами первых двух глав; с другой стороны, в этих двух главах использовались лишь те понятия и факты из теории натуральных чисел (а именно, понятие отрезка натурального ряда, индуктивное доказательство и индуктивное определение), которые нами уже изложены. Поэтому, не делая порочного круга, мы можем в даль­ нейшем построении теории натуральных чисел опираться на факты из первых двух глав. В частности, верны основные свойства суммы и произведения [см. § 6, (1), (2)]: т п т + А то п т-\-п 1= 1 n /=1 i=l n i= l n i-=l n |c=l n л i= l i= i i=l i= I 1= 1 i= l При совпадающих слагаемых или сомножителях сумма и произ­ ведение по определению дают кратное и соответственно степень натурального числа а. Для них верны обычные правила оперирова­ ния [см. § 6, (3) — (8)]. Итак, определением кратного и степени числа служат равенства п ап = У а, п (7) a» = J J a . /=1 (8) Но обозначение ап в (7) имело уже раньше другой смысл. Так обозначалось произведение натуральных чисел а и Й. Нужно доказать, что оба истолкования записи ап совпадают. Когда это будет доказано, то, придав натуральному числу п количественное значение (как мощности множества), мы придём к школьному опре­ делению произведения ап как суммы п слагаемых, равных а.