* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА tf п 147 ству А и которая обладает свойствами: 1) f(l)=x 2 ) при л 1 и I <^а^п значение f (а) связано со значениями f (b) (где b<^a) рекуррентными соотношениями данной системы S. Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы . Пусть М—множество тех л, для которых лемма верна. А) Для л = 1 условие в) и свойство 2„) отпадают. Очевидно, / ( 1 ) = * , будет тогда единственной функцией, заданной на отрезке 11, 1 | и обладающей свойством 1); 1 принадлежит М. Б) Если п принадлежит М то для п лемма верна. Пусть усло­ вия а), б), в) леммы выполнены для числа «—|— 1 - Тогда эти усло­ вия выполняются также и для числа п [при той же системе S ре­ куррентных соотношений в пункте в) и том же х в б)]. Стало быть, существует одна и только одна функция Д ( а ) , заданная на отрезке 11, п\ и обладающая свойствами 1) и 2 ). Мы строим тогда функцию f i(a) следующим образом: для любого а^п полагаем: ( а ) = / „ ( а ) . Значение же / „ i ( « + l ) определяем по значениям / ( а ) для а<^п-\-1 из рекуррентных соотношений данной си­ стемы 5, что возможно, так как условие в) выполнено для числа /г - f - 1 . Тогда функция f \(a) задана на отрезке 11, я — 11 и обла­ — | дает свойствами 1) и 2 ) . Если g(a) — любая функция, заданная на отрезке 11, « — 11 и обладающая свойствами 1) и 2п+1), то эта — | функция g(a) задана также на отрезке 11, п\ и обладает свойствами 1) и 2 ). В силу единственности такой функции (для п лемма верна) должно быть: g(a)=f (a) для а^п. Но g(a) обладает свойством 2 | ) . Следовательно, значение -f-1) однозначно определяется значениями g(a) для а ^ л - j - l . Но для а < ^ л - | - 1 , т. е. а ^ л , 9 х П n+ + п + ! n+ п+1 Д n л+ £(<*)=/ (а)=/ (а). Л п+г Поэтому также g(n -f-1) = / (л -f-1). Итак, на всём отрезке 11, п -|- 1 | функция g(a) совпадает с /„+i(a), чем доказана един­ ственность функции f i(a). Лемма доказана для числа /z-J— 1; /г-J— 1 принадлежит множеству М. По аксиоме IV М содержит все нату­ ральные числа, т. е. лемма верна для любого натурального числа л . Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Условия 1) в определении 1 и лемме совпадают. Из условия 2) определения 1 следует, что условие в) леммы выполнено при любом л ^ > 1 . Согласно лемме для любого п существует одна и только одна функция f (a), за­ данная на отрезке 11, п\ и обладающая свойствами 1) и 2д). Если т<^п, то функция f (a) задана на отрезке 11, т \ как части от­ резка | 1 , л | и обладает свойствами 1) и 2 ), а стало быть и свой­ ством 2 ) . По единственности такой функции f (a)=f (a) для аг^т. Итак, все функции f (a), определённые для числа а (т. е. при л ^ а), имеют для этого а одно и то ж е . значение. Значение всех f (a) при п^а и примем за значение / ( а ) искомой функции для числа а; / ( 1 ) совпадает с / „ ( 1 ) , а так как f (a) обладает свой­ ством 1), т о / ( а ) обладает свойством 1). Если а^>1 и п^а, то я + 1 n+ n n П т n m n n n