* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

Г Л А В А III НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА § 11. Аксиомы натуральных чисел Аксиоматическое построение данной теории начинается (см. § 9) с перечисления основных отношений (принимаемых без определения) и основных свойств или аксиом (принимаемых без доказательства), которым удовлетворяют данные отношения. При аксиоматическом построении натуральных чисел вводится одно основное отношение и четыре аксиомы, а именно: О п р е д е л е н и е 1. Натуральными числами называются эле­ менты всякого непустого множества N, в котором для некото­ рых элементов a, b существует отношение «й следует за а* (число, следующее за а, будем обозначать через а'), удовлетворяю­ щее следующим аксиомам*. I . Существует число 1, не следующее ни за каким числом^ т. е. а' ф 1 для любого числа а'). I I . Для любого числа а существует следующее число а' и при­ том только одно, т. е. из а—b следует а' = Ь*. I I I . Любое число следует не более чем за одним числом, т. е. из а' = Ь' следует а = Ь. IV. ( А к с и о м а и н д у к ц и и . ) Любое множество М натураль­ ных чисел, обладающее свойствами'. А) 1 принадлежит М, Б) если число а принадлежит М, то следующее число а' также принадлежит М, содержит все натуральные числа, т. е. совпадает с N. Приведённая здесь аксиоматика натуральных чисел представляет собой лишь несущественное изменение системы аксиом, предложен­ ной в 1891 г. итальянским математиком и логиком Пеано. Может показаться, что наше определение натуральных чисел плохо тем, что согласно ему натуральными числами называются ) Как всегда, знак = обозначает совпадение, а знак ф— различие эле­ ментов множества. 1