* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ, КОЛЬЦА и пота 123 только одно с, для которого а-\-Ь = с или ab = c (эти два требо­ вания являются по существу двумя дополнительными аксиомами), причём эти требования предполагаются выполненными как в М, так и в М, определение изоморфизма групп колец и полей можно уп­ ростить по сравнению с определением 1, а именно требовать сохра­ нения основных отношений лишь при переходе от Ж к № . Огра­ ничиваясь случаем колец и полей, нужным в дальнейшем при опреде­ лении числовых областей (случай групп отличается от рассмотренного лишь тем, что налицо одна операция вместо двух), получаем таким образом: О п р е д е л е н и е 2. Кольцо (или поле) R называется изоморф­ ным кольцу (соответственно полю) R' (запись R^R'), если суще­ ствует взаимно однозначное отображение R на R', при котором сумме и произведению любых элементов R соответствуют сумма и произведение соответствующих элементов /?'. Покажем, что это определение является частным случаем общего определения 1. Для этого надо лишь убедиться, что обратное ото­ бражение R на R также сохраняет сумму и произведение. Пусть в /?' имеем: a -\-Ь'=с, и элементам а', Ъ\ с' при обратном отобра­ жении соответствуют а, Ь с из Я . Надо доказать, что а-\-Ь = с. Но если а-\-Ь=(1фс то из определения 2 следовало бы а'-\-Ь' = = й*ф с\ что противоречит однозначности операции сложе­ ния в R'. В последнем рассуждении мы не пользовались аксиомами кольца 1 — V I . Поэтому определение 2 дословно переносится на любые множества, в каждом из которых задано две алгебраические опера­ ции— сложение и умножение. Т е о р е м а 1. Пусть R и R' — множества, в каждом из кото­ рых определены операции сложения и умножения. Пусть R изо­ морфно R' (в смысле определения 2). Тогда, если R есть кольцо (или поле), то и R' будет кольцом (соответственно полем). Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно убедиться в справедливости для R' аксиом I — VI или I — VIII (§ 7, определение 1 и § 8, опреде­ ление 1 ) . Во всех случаях (кроме аксиомы VIII, где доказательство очевидно) рассуждение совершенно одинаково. Докажем, например, аксиому I I I . Пусть а' и Ь'-—элементы /?' и а и b — их прообразы в R. Так как в R аксиома I I I выполнена, то существует элемент с6 R такой, что а-\-с=Ь. Если с—*с\ то в силу изоморфизма также а' 4-е' = Ь\ т. е. с' есть решение уравнения а ' = Значит, R' также обладает свойством I I I . Читателю рекомендуется доказать справедливость в R' остальных аксиом. Вместе с основными свойствами при изоморфизме сохраняются и все другие свойства, являющиеся следствиями основных. Так, при изоморфизме колец R и R' нулю R соответствует нуль R', и если R содержит единицу, то и R' содержит единицу, причём она соот­ ветствует единице из R. В самом деле, из а - | - 0 = 4 в R следует 9 f 9 9