* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

122 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля систему отношений S, называются изоморфными (запись М ^ М) относительно данной системы отношений (короче просто изо­ морфными), если между ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее все отношения системы S, т. е. та­ кое, что если любые элементы М находятся в любом из отно­ шений системы S, то соответствующие им элементы М нахо­ дятся в том же отношении, и обратно. Можно сказать, что аксиоматическая теория изучает множества лишь с точностью до изоморфизма относительно системы основных отношений данной теории. Понятие изоморфизма обладает, очевидно, тремя основными свой­ ствами: 1) Мд^М, 2) если М^М, то. М^М, 3) если M9=LM' и М^М", то Мд^М". Например, в случае отсутствия каких-либо отношений (в случае, когда система отношений S есть пустое множество) определение I обращается в определение эквивалентности (§ 3), а в случае одного отношения «а предшествует Ь» при выполнении соответствующих аксиом — в отношение подобия (§ 5). То, что понятие изоморфизма действительно выражает одинако­ вость всех рассматриваемых свойств множеств, можно формулиро­ вать в виде следующего общего положения: Если множества М и М изоморфны относительно некоторой системы отношений S, то любое свойство множества М, форму­ лированное в терминах отношений системы S (и, значит, и отно­ шений, определяемых через отношения системы S), переносится на множество М, и обратно. Разберём это положение на конкретном примере. Пусть в множествах М и М определено отношение «больше», и они изоморфны относительно этого отношения; тогда, если М упорядочено, т. е. если в М выполнены свойства I ) и 2) из § 5, то они выполнены и в М. Докажем свойство 1). Пусть а' и Ь* — элементы М и а и Ь — соответствующие элементы М. В силу условия 1) в Ж выполнено одно из соотношений а=Ь, а^>Ь, Ь^>а. Отображение М на М сохраняет отношение «больше». Значит, выполнено одно из соот­ ношений а' = Ь', a'^>b\ Ь"^>а'. Если бы в М выполнялось белее одного из них, то из сохранения отношения «больше» при отобра­ жении М на М следовало бы выполнение более одного отношения для а и Ь, что противоречит условию 1). Докажем свойство 2). Если а'^>Ь' и Ь'^>с', то также а^>Ь и £ ^ > с . В самом деле, в М должно быть а^>с. Значит, а'^>с'. Займёмся теперь изоморфизмом групп колец и полей. Ввиду того, что здесь отношения а-\-Ъ = с и аЪ = с удовлетворяют дополни­ тельным требованиям, что для любых а и b существует одно и