* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ, КОЛЬЦА и ПОЛЯ 121 основные отношения («точка лежит на прямой» и т. п.), удовлетво¬ ряющие основным условиям (аксиомам геометрии). Но если так, то можно думать, что существует не одна, а много теорий колец и полей, не одна, а много различных геометрий в за­ висимости от того, какое конкретное множество положено в основу данной теории. Выход из этого затруднения следует, однако, уже из сказанного выше и заключается в точном определении содержа­ ния данной математической теории. Ведь данная теория, как было указано, изучает не все свойства элементов множества, а лишь те из них, которые относятся к основным отношениям, заданным для этих элементов, и которые вытекают из основных свойств (аксиом), которым подчиняются основные отношения. Все остальные свойства (сами по себе, может быть, весьма важные) просто не являются предметом изучения в данной теории. Она абстрагируется от этих свойств. Поэтому все множества, для элементов которых определены (для каждого множества по-своему, на основе конкретных свойств его элементов) основные отношения и у которых все свойства этих отношений одинаковы, с точки зрения данной теории неразличимы между собой. Но так как основные отношения определяются для каждого мно­ жества, исходя из конкретных свойств его элементов, то, изучая в абстрактной форме свойства основных отношений, данная теория изучает, таким образом, некоторые конкретные свойства целого класса конкретных множеств. $то диалектическое единство абстракт­ ного и конкретного свойственно всякой науке, но в математике оно проявляется, пожалуй наиболее ярко. Конечно, математика изучает не все свойства материальных тел, а лишь те из этих свойств, которые поддаются количественной оценке или пространственному описанию. Основные для всей математики понятия числа и фигуры являются абстрактным выражением именно этих свойств материаль­ ных тел. Таким образом, несмотря на абстрактный характер построе­ ния современной математики, для неб остаётся в силе определение, данное Энгельсом ): «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо зату­ шевать его происхождение из внешнего мира». Понятие множеств, имеющих одинаковые свойства отношений между их элементами и поэтому неразличимых в рамках данной математической теории, получает точное выражение в следующем общем понятии изоморфизма: О п р е д е л е н и е 1. Два множества А1 и М', в каждом из ко­ торых определены отношения элементов, образующие некоторую 1 1 ) Ф. Э н г е л ь с , Анти-Дюринг, 194S, стр. 37,