* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля 119 Т е о р е м а 5. Для того чтобы множество М поля Р, содер­ жащее не менее двух элементов, было поЭполем, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность, произведение и частное (если только оно существует в Р) любых элементов из М снова при­ надлежали к М.Доказательство вполне аналогично проведённому для соответ­ ствующей теоремы о кольцах (см. § 7, теорема 4), и мы его при­ водить не будем. Всякое подполе М поля Р содержит 0 как разность а — а, где а£М,ц единицу как частное у , где а 6 М , 1 афО. Т е о р е м а б ) . Пересечение (в смысле пересечения множеств; см. § 2) любого множества подполей поля Р опять является под­ полем поля Р. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть \ M } есть некоторое множество под­ полей, где индексы s образуют множество 5 и D f) M — пересечение s s всех подполей M данного множества; 0 и 1 входят в каждое под­ поле M и, значит, в D. Итак, D содержит не менее двух элемен­ тов. Если а и Ь — элементы D, то они входят в каждое M и по s s s теореме 5 a~\-b, а — Ь, аЬ, а при ЬфО и у также входят в M, s а значит, и в О. Б силу теоремы 5 D — подполе поля Р. О п р е д е л е н и е 4. Поле, не имеющее подполей, отличных от него самого, называется простым. Примерами простых полей могут служить поле рациональных чисел и поля вычетов по простому модулю р. Любое подполе М поля Р рациональных чисел содержит число 1, а значит, и все его кратные п>1=п, г. е. все целые числа, а зна­ чит, и все их частные, т. е. все рациональные числа. Итак, М = Р, т. е. Р—простое поле. Точно так же любое подполе М поля С пычетов по простому модулю р содержит класс (1), служащий единицей С , а значит, любой класс (г) как r-кратное класса (1). Итак, М = С , т. е. С — простое поле. Можно доказать, что этими полями в некотором смысле исчер­ пываются все простые поля. Т е о р е м а 7. Любое поле содержит простое подполе и притой только одно. Д о к а з а т е л ь с т в о . Позе Р вообще содержит подполя (на­ пример, само Р). Пусть D есть пересечение всех подполей поля А По теореме 6 D является подполем Р и по самому определению входит в любое подполе- Пусть М — подполе D отличное от D. р р р р t ') Соответствующая теорема в?рна и для колец, т. е. пересечение любого мпожестпа подколоц кольца R есть подкольцо кольца R. Доказательство её вполне аналогично данному здесь для полей и предоставляется читателю.