* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

118 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ числа, даюшне при делении на п один и тот же остаток. Если класс чисел, дающих при делении на п остаток г, обозначить через (г), то мы получим всего п различных классов: (0), (1), ( 2 ) , . . . , (п—1). Очевидно, что два числа а и Ъ тогда и только тогда принадлежат к одному классу, когда их разность а— Ь делится на л ) . Пусть С — множество всех определённых таким образом классов целых чисел. Определим в С операции сложения и умножения. Если (г) и (s)— два класса, причём класс (г) содержит число а и (s)— число Ь, то суммой (r)-f~(£) данных классов назовём класс, содержащий число а-\-Ь и произведением (г) • (s)— класс, содержащий число ab. Сумма и произведение классов определены однозначно, т. е. не зависят от выбора представителей а и Ь этих классов. В самом деле, если а и а' — два числа из класса (г) и b и V — два числа из класса (s), то числа а — а* и b — V делятся на я . Поэтому также 1 л п ч (a-\-b) — (а'-\-Ь')=(а — a')-f(f> — 9 и ab — a'b' = (ab — a'b) + (db — a!b') = (a — a') b + a (b — b') делятся на я . Но это значит, что числа а-\-Ь и а' -\-Ь' принадлежат к одному классу и то же верно для чисел ab и а'Ь\ Свойства кольца I — V I (§ 7, определение 1) для классов авто­ матически выполняются, так как эти свойства верны для целых чи­ сел, и операции над классами определены через операции над пред­ ставителями. Итак, С является кольцом. Оно называется кольцом вычетов по модулю п. Нулём кольца С является, очевидно, класс (0), состоящий из всех чисел, делящихся на я. Если п = Ы—число составное, то кольцо С содержит делитель нуля, так как (k) ф (0) и (1)Ф (0), но (k) • (I) = (0), Если же п =р — число простое, то кольцо С не имеет делителей нуля, так как, если (г) • (s)=(Q), то rs делится на /?, и значит, либо г, либо s делится на р, т. е. либо ( г ) = 0 , либо (s) = 0. Так как кольцо С„ содержит р элементов и, значит, конечно, то по теореме 2 оно будет полем. Класс р(г) содержит число pr делящееся на р. Поэтому р - (г) = (0) для любого класса (г) поля С . Значит, р — характеристика поля С . Подполе. Простое поле. О п р е д е л е н и е 3. Множество М поля Р называется подполем Р, если оно само является полем при тех же операциях сложения и умножения, которые за­ даны в поле Р. Тогда Р называется надполем или расширением поля M. Так, поле рациональных чисел является подполем поля действи­ тельных чисел, а последнее — подполем поля комплексных чисел. п п п р t р р *) По существу мы имеем здесь дело со сравнениями по модулю п (см. статью А. Я Хипчина в этой кпиге^