* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ, КОЛЬЦА I I поля 1 117 б) существует единственное простое число ) р такое, что ра = 0 для любого элемента а. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть случай а) не имеет места, т. е- су­ ществуют элемент поля афО и целое число п Ф О, для которых па = 0. Докажем, что тогда имеет место случай б). Для любого Ь£Р существует q такое, что aq = b. Тогда по (5) из § 7 также nb=n(aq) = (na)q = 0 • q = 0. Достаточно поэтому доказать, что случай б) имеет место для какого-нибудь одного элемента а ф О, например для единицы е. По доказанному пе=0, значит, и ( — п ) е = — п е ^ = 0 . Одно из чисел/г и — п — положительное. Существуют, следовательно, натуральные числа k такие, что ke = 0. Пусть р будет наименьшее иэ чисел к с этим свойством ). Покажем, что р — число простое; рф\ так как 1 • е = ефО и ре = 0. Если р делится на q, где \<^q<^p то p = qr и также ! < > < > . Тогда по (5) из § 7 2 9 9 ре = (qr) (ее) = (qe) (re) = О, и ввиду отсутствия делителей нуля (теорема 1).либо qe = 0, либо rez=0, что невозможно, ибо р — наименьшее натуральное число, обладающее этим свойством." Пусть k—любое натуральное число такое, что ke = 0; деля k на р, найдём: k=pq-\-r где остаток г удовлетворяет условию 0^г<^р. Тогда из (6) § 6 и (5) § 7 сле­ дует: 9 ke = (pq~\-r)e=(pq)e -\-re = q (ре)-\- re = 0 re = re = 0. Значит, должно быть г = 0 , так как г^>0 противоречит выбору р. Итак, k=pq, т. е. k делится на р и если k отлично от р оно не может быть простым. Значит, р — единственное простое число, для которого ре=0. Эта теорема позволяет дать следующее определение: О п р е д е л е н и е 2.. Характеристикой поля Р называется число 0. если пафО для любого элемента а ф 0 и любого целого числа пфО и простое число р такое, что ра = 0 для любого элемента а в противном случае. Так как для числа 1 и любого целого п будет л • 1 =п, то все числовые поля имеют характеристику 0. П р и м е р п о л я х а р а к т е р и с т и к и р^>0. Пусть п—любое натуральное число, большее единицы. Тогда все целые числа могут быгь разбиты на классы, так что к одному классу принадлежат все 9 9 *) Под простым числом понимается натуральное число, отличное от 1 и пе деляндееся ни на какое натуральное число, кроме 1 и самого себя. *) Что всякое непустое мпожестпо натуральных чисел содержит наи­ меньшее число, будет доказано и riauc III,