* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

112 ПОНЯТИЯ 1ХНОЖЕСГПЛ, ГРУППМ, КОЛЬЦА и поля Второе вытекает из первого: (— с)Ь = Ь ( — а) = — ba = — ab. Третье следует из первых двух: (—а)(—Ь) = — (—а)Ь=—(—аЬ)=аЬ. По индукции законы дистрибутивности обобщаются на любое конечное число слагаемых, а затем и на произведение двух сумм. Справедливы, таким образом, равенства п п п п J= I i= I i= I (4) (М2».)=2(1«а). Отсюда и из свойств кратного [§ 6, (7)] при совпадении слагае­ мых каждой суммы, т. е. при a = a (/—1, 2, . . . , я ) , b = b ( Д = 1 , 2, . . . , т), t k следует далее: (па) Ь = а (nb) = п (ab), (па) (mb)=п [т (ab)] = (пт) (ab) t (5) В главе IV нам понадобятся следующие свойства разности эле­ ментов кольца: Т е о р е м а 3. ( С в о й с т в а р а з н о с т и . ) В любом кольце раз­ ность элементов обладает следующими свойствами-. а) а — Ь = с — d тогда и только тогда, когда a-\-d = b~\-c, б) (a — 6 ) - f (с — d) = ( a - f с) — (b + d); в) (а — Ь) — (с — d) = (a-\- d) — (b\-c)\ г) (a — b)(c — d) = (ac + bd) — (ad + be). Д о к а з а т е л ь с т в о . Прибавляя b~\-d к обеим частям равен­ ства а — b = с — d, получим: а -\- d = b -\- с. Обратно, прибавляя (—Ь)4~(—d) обеим частям второго из этих равенств, получим первое. Этим доказано а). Равенства б), в) и г) доказываются ана­ логично. Подкольцо. О п р е д е л е н и е 3. Подмножество М кольца R называется подкольцом, если оно само является кольцом при тех же операциях сложения и умножения, которые определены в кольце R. Так, кольцо чётных чисел является подкольцом кольца целых чисел, а последнее в свою очередь — подкольцом кольца рацио­ нальных чисел* к