* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

104 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Группы подстановок имеют большое значение в алгебре. С ними связано решение вопроса о разрешимости уравнения в радикалах, данное французским математиком Эваристом Галуа (1811—1832). С л е д с т в и я из з а к о н о в а с с о ц и а т и в н о с т и и комму­ т а т и в н о с т и . Закон ассоциативности I позволяет говорить о про­ изведении трёх элементов а, Ъ и с группы G, понимая под этим любое из равных произведений a (be) и (ab)c, и писать рядом abc без скобок. Можно, однако, и без закона ассоциативности индук­ тивно определить произведение п а,а ... 2 а= п для любых п элементов a а , . . . , а из О (обоснование законности индуктивного определения будет дано в гл. III). Именно: v а п 1 О п р е д е л е н и е 3. JJ i— i a a для любого элемента а х из G; Согласно этому определению имеем, например: ааа х г х г г л — (а а^) а , х а а а а а^ а^а^а^ = [ ( а а ) а ] 041 х 2 3 — \[{а а^а \а \а^ х ъ к и т. д. Произведение двух произведений также можно представить в виде произведения всех встречающихся элементов,, а именно: (a,a . . . a )(a a ^ m m+l m s . . . a ) = a a^ ... n t а п или в сокращённой записи: Ц <, Д < w = Л * м п —т п О) Докажем равенство (1) при заданном т индукцией по л . При п=1 оно вытекает прямо из определения 3. Если (1) верно для