* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

102 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ В одном и том же множестве может быть задано несколько алгебраических операций. Желая изучать общие свойства сложения и умножения чисел, мы рассмотрим сначала множества с одной алгебраической операцией. Таким образом, мы приходим к первому из основных понятий современной алгебры, именно к понятию группы. О п р е д е л е н и е 2. Непустое множество G называется груп­ пой, если в нём определена алгебраическая операция, называемая умножением, которая каждым двум элементам а, Ъ из G ставит в соответствие элемент ab также из G, называемый их произ­ ведением, и обладает нижеследующими свойствами: L ( З а к о н а с с о ц и а т и в н о с т и . ) a (be)=(ab) с *); П. (3 а к о н о б р а т и м о с т и . ) Для любых а и b из G уравне­ ния ах=Ь и уа = Ь разрешимы в G, т. е. в G существуют эле­ менты cud такие, что ac=b, da = b. Если групповая-операция коммутативна, т. е. ab = ba для любых a, b из G, то группа G на­ зывается коммутативной ). Приведём несколько примеров групп. П р и м е р 1. Все целые, все рациональные, все действитель­ ные и все комплексные числа являются группами относительно опе­ рации сложения чисел, играющего роль групповой операции умно­ жения. Ни одно из этих множеств не является группой относительно опе­ рации умножения чисел, ибо уравнения 0 - х = 1 не имеют решения. П р и м е р 2. Все рациональные, все действительные и все ком­ плексные числа, исключая число 0, являются группами относительно операции умножения чисел. П р и м е р 3. Множество G двух элементов е и а с операцией, заданной равенствами ее=аа = е, еа = ае=а, является группой. Все эти группы коммутативны. П р и м е р 4. Пусть G — множество всех взаимно однозначных отображений множества М на себя (§ 3, определение 3). Образ элемента а^М при отображении s£G будем обозначать через as. Произведением $t двух отображений s и / из С назовём отображе­ ние, полученное в результате последовательного выполнения данных отображений (сначала s, затем / ) , т. е. полагаем t s a(st) = я (as)t для любого М ). При таком определении операции умножения множество G является группой. В самом деле, закон ассоциативности I Ч ) ) тем s. а в Знак = обозначает, как всегда, совпадение элемептов. Коммутативные группы называются также абелевыми. Можно под произведением st понимать выполнепие сначала /, а за­ Тогда образ элемента а при отображении s удобнее обозначить через