* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ. КОЛЬЦА, и п о л я 101 О п р е д е л е н и е 1. Соответствие, в силу которого каждой паре а, Ь элементов множества М, взятых в данном порядке, соответствует единственный третий элемент с того же мно­ жества М, называется алгебраической операцией, определён­ ной в М. Используя понятие функции (§ 3, определение 1), можно сказать короче, что алгебраическая операция, определённая во множестве М, есть функция, определённая на множестве всех упорядоченных пар элементов М, значения которой принадлежат Ж. Примерами алгебраических операций могут служить четыре арифметических действия: сложение а-\-Ь = с, вычитание а — Ь=с умножение а»Ь = с, деление а:Ь = с, рассматриваемые хотя бы на множестве всех действительных чисел, причём в случае деления нужно исключить число 0, деление на которое не определено* Дальнейшими примерами являются сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, сложение векторов по правилу парал­ лелограмма, сложение, вычитание и умножение многочленов и т. д . Как известно, две или более алгебраических операций могут быть связаны между собою 'переменой роли данных и искомых 9 элементов. Так, если а-\-Ъ=с, то с — а = Ь; если ab = c, то а = ~^. Эта связь операций выражает понятие обратной операции, которое в общем виде определяется так: Пусть дана операция, ставящая в соответствие паре элементов a, b из М элемент с. Те две операции, которые получатся из данной путём перемены в ней роли одного из элементов a, b н элемента с (одного из данных элементов с искомым), называются обратными для данной операции. Таким образом, первая обратная операция паре с, b ставит в со­ ответствие а, а вторая — паре с, а ставит в соответствие Ь. Как хорошо известно, обратные операции не всегда существуют или не всегда единственны. Так, для натуральных чисел определены опера­ ции сложения и умножения, но обратные операции — вычитание и деление — не всегда выполнимы. Операция называется коммутативной, если её применение к па­ рам a, b и Ь, а всегда даёт один и тот же результат. Ниже мы увидим, что если для коммутативной операции существует одна из обратных операций, то существует и другая и обе они совпадают. Для некоммутативной операции это уже неверно. Так, для положительных действительных чисел операция f(a,b) = a не коммутативна, ибо а фЬ . Первая обратная операъ,— ция f (c, b)= у с существует; вторая же — / (с, a) = l o g с не определена для а = \ \\ сф\, а также для таких а и с, когда logo с^О (ведь мы рассматриваем нашу операцию лишь на множест­ ве положительных чисел). В тех же случаях, когда вторая операция также определена, она не совпадает с первой операцией. b ь а t 2 e