* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

96 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ порядке, именно, в возрастающем порядке. Так, для множества на­ туральных чисел таким естественным порядком будет расположение 1, 2, 3, В настоящем параграфе рассматривается понятие порядка в самом общем виде, т. е. для любых множеств. О п р е д е л е н и е 1 . Множество М называется упорядоченным, если между его элементами установлено некоторое отношение а<^Ь ) {читают: «а предшествует Ьъ), обладающее следующими свойствами: 1 ) между любыми двумя элементами а и Ь существует одно и только одно из трёх соотношений: a = b, а<^Ь, Ь<^а\ 2) для любых трёх элементов а, b и с из а<^Ь, Ъ<^с сле­ дует а < ^ с . Пустое множество считается упорядоченным. З а м е ч а н и е . Знак = мы всегда понимаем в смысле тождества, совпадения элементов. Запись а = Ь просто означает, что буквами а и b обозначен один и тот же элемент множества М. Поэтому из свойства 1 ) следует, что между двумя р а з л и ч н ы м и элементами выполняется одно и только одно из двух соотношений а<^Ь или Ь<^а. Если а предшествует Ъ то говорят, что Ъ следует за а и пишут: Ь^>а. Отношение а^>Ь обладает, как легко проверить, свойствами, аналогичными 1 ) и 2). Его можно принять за основное, определив тогда через него отношение а<^Ь (см. ниже § 9). Если в упорядоченном множестве М поменять ролями отноше­ ния < ^ и т. е. вместо а<^Ь писать а^>Ь и наоборот, то полу­ чится новое упорядоченное множество М\ порядок которого назы­ вается обратным относительно порядка М. Например, для приве­ дённого выше порядка во множестве натуральных чисел обратным будет порядок: 3, 2, 1 . х ч 3 • а • , Два упорядоченные множества, составленные из одних и тех же элементов, но расположенные в разном порядке, считаются различ­ ными. Поэтому при задании упорядоченного множества через его элементы необходимо указать их порядок. Мы будем считать, что запись слева направо соответствует порядку элементов, и сохраним прежнее обозначение фигурными скобками. Одно и то же множество можно упорядочить различным образом (если оно содержит не менее двух элементов). Так, множество натуральных чисел можно упоря­ дочить обычным образом или в обратном порядке, можно нечётные числа поставить впереди чётных или наоборот, располагая те и дру') Не следует смешивать смысла этой записи с неравенствами чисел.