* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

92 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Д о сих пор мы ещё не доказали бесконечности какого-либо множества. Но из теоремы 1 следует Т е о р е м а 5. Множество N всех натуральных чисел, а также любое множество, содержащее подмножество, равномощное N, бесконечны. Д о к а з а т е л ь с т в о . Множество N бесконечно, ибо отображе­ ние / ( л ) = л - | - 1 для любого натурального числа п отображает взаимно однозначно N = { 1 , 2, 3 , . . . } на его собственное под­ множество N =[ 2, 3, 4, . . . }. Значит, любое множество ЛГ, равномощное TV, бесконечно, а по теореме 3 и любое множество, содержащее подмножество W , равномощное N, также беско­ нечно. П р и м е р ы . Множества действительных или комплексных чисел содержат множество N натуральных чисел и, следовательно, бес­ конечны. Отрезок [0, 1 ] также ест4 бесконечное множество, так t как он содержит множество N' чисел вида — ( л = 1 , 2, 3, . . . ), равномощное N. О п р е д е л е н и е 4. Множество, равномощное множеству на­ туральных чисел, называется счётным. Иными словами, счётное множество — это такое множество, элементы которого можно «перенумеровать» при помощи натураль­ ных чисел так, чтобы при этом все числа были использованы и раз­ личные элементы всегда имели бы различные номера. Таким обра­ зом, счётное множество А всегда можно записать в виде А={ а и а , . . . , а , ... } . 2 п Как показывают примеры в конце предыдущего параграфа, множества чётных или нечётных чисел, а также множество рацио­ нальных чисел счётньи О п р е д е л е н и е 5. Множество, не являющееся конечны^ или счётным, называется несчётным. Следующий пример показывает, что такие множества действи­ тельно существуют Множество всех действительных чисел несчётно. Заметим сначала, что из примеров 2 и 3 предыдущего параграфа следует равномощность этого множества интервалу (0, 1 ) . Достаточно поэтому дока­ зать несчётность последнего. Мы будем считать известным, что каждое число интервала (0, 1 ) записывается в виде конечной или бесконечной десятичной дроби вида О, о.\ а% а$ • • • *) Существует даже бесконечно много различных мощностей, на чём мы останавливаться не будем, отсылая желающих к уже упомянутым выше книгам (*], стр. 40 или [ ] . с