* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОЖЕСТВА 91 число элементов. Поэтому число элементов можно принять за опре­ деление мощности конечного множества. Т е о р е м а 3. Любое подмножество конечного множества само конечно. Любое надмножество бесконечного множества само бес­ конечно. Д о к а з а т е л ь с т в о . Каждое из двух утверждений теоремы следует из другого. Так, если первое утверждение верно, то верно и второе, так как если А бесконечно и л с В , то и В бесконечно, ибо если бы В было конечно, то по первой половине теоремы и А было бы конечно. До­ статочно поэтому доказать первое утверждение. Итак, пусть А конечно и ^ с А Если А = 0, то и В = 0, теорема справедлива. Пусть A ZD 0. Тогда А^\1 п\ для некоторого натурального числа л. Применим индукцию относительно л. При л = 1 теорема верна, так как А содержит один элемент, и либо 6 = 0, либо В = А. Пусть утвер­ ждение верно для некоторого л. Докажем его для числа л - j - l . Итак, пусть / — взаимно однозначное отображение А на отрезок 11, л—|— 11. ЕСЛИ В = А, ТО В конечно. Пусть В с Л . Существует элемент а£ А \ В . Можно считать, что f(a) = n-\-l. Иначе / ( а ' ) = л - | - 1 , где а'£А, а фа. Если тогда f(a) = l, то строим новое отображение f полагая f (а) = п-\- 1, f (а ) = 1 и f =f для остальных элементов множества А. Игак, пусть f(a)=n-\-l. Положим Л' = Л \ ^ а } . Тогда / о п р е д е л я е т взаимно однозначное отображение множества А' на отрезок 11, л ) , и В^А . Следова­ тельно, по предположению индукции В конечно. Теорема доказана. Согласно теореме 3 понятие о числе элементов имеет смысл для любого подмножества данного конечного множества. При этом имеет место Т е о р е м а 4. Число элементов конечного множества А всегда больше числа элементов его собственного подмножества В. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть т — число элементов A n n — чиСло элементов В. Предположим, что п^т. Так как Л э В , то Аф0 л ^ > 0 и А~\1 ти Также и л ^ / я ^ > 0 , следовательно, 9 1 u x x x 1 9 9 б ~ | 1, п\. (1) При взаимно однозначном отображении А на отрезок 11, т\ мно­ жество В отображается также взаимно однозначно на некоторое собственное подмножество В отрезка 11, т\ таким образом. 1 9 В Из В'а\1, т\ и т^п следует: ff. (2) (3) Но из (1) и (2) вытекает В' ~\ 1, л ] , что в силу (3) противо­ речит теореме 1, ибо отрезок 11, л | оказывается равномощным своему собственному подмножеству В'.