* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

90 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ ственное подмножество В. Для п = 1 это очевидно, так как Л ~ | 1 , 1 | и содержит лишь один элемент. Единственным его соб­ ственным подмножеством будет В = 0, причём А не равномощно В. Предположим, что теорема доказана для натурального числа я , и докажем её для числа п-\-\. Итак, пусть Л ~ | 1, и/ есть взаимно однозначное отображение А на В. Занумеровав эле­ менты А соответствующими им числами, получим: А ^= fltg, . • . , #/14.1}* Для В = 0 утверждение справедливо. Если Вф.0 то без огра­ ничения общности можно предположить, что a £ В. Иначе берём элемент Ь£В и строим новое множество В полученное из В за­ меной элемента Ъ на а и новое отображение f которое совпа­ дает с / для всех элементов множества А, кроме элементов а со свойством f(a)=b, причём для этого элемента а полагаем / (а) = = а . Тогда f будет взаимно однозначным отображением А на собственное подмножество В содержащее а . Далее, -без огра­ ничения общности можно считать, что f(a t)=a . Иначе пусть / ( а ) = а , и / ( а ) = ау. Тогда строим новое отображение / „ совпадающее с / для всех элементов А, кроме a и а ^ , , причём полагаем / , ( а ) = а и f ( а )=a Итак, пусть а ^ В и / ( а ^ , ) = = а , пусть также Л' = Л \ { а | } и В'=В\{а + \. Так как В — собственное подмножество Л, то существует элемент а' £ А\В* Так как а (В, то а'фа Поэтому а'£А'\В'. Значит, В есть собственное подмножество А'. Так как / ( a i ) = a +i» отображе­ ние / устанавливает равномощность множеств А' и В', но А' = = {a a , а \ r ^ \ l п[. Мы получили противоречие с предпо­ ложением индукции, чем наше утверждение, а значит, и вся тео­ рема доказаны. 9 n+i и п+и lf % п+1 x и я + 1 n+ n+t г я + л + 1 t г у x я + 1 n + v я + я + ! п х 1 я+1 п+и т о r t + n tt s п t Из теоремы 1 легко следует Т е о р е м а 2. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда. Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению 2 непустое конечное множество А равномощно по крайней мере одному отрезку натураль­ ного ряда. Если бы оно было равномощно двум различным отрез­ кам Л ~ | 1, т\, А~ \ 1, п\ тфп, то по свойствам равномощности будет: 11, я | , что противоречит теореме 1, так как один из двух различных отрезков натурального ряда является собствен­ ным подмножеством другого. О п р е д е л е н и е 3. Однозначно определённое для данного не­ пустого конечного множества А натуральное число п такое, что . А ~ | 1 , я | , называется числом элементов множества А Числом элементов пустого множества называется число 0. Из свойств равномощности следует, что два конечных множества тогда и только тогда равномощны, когда они имеют одно и то же 9