* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОЖЕСТВА 89 § 4. Конечные и бесконечные множества Все указанные в предыдущем параграфе множества, равномощные собственным подмножествам, были бесконечны. Мы сейчас уви­ дим, что это не случайно (см. ниже теорему 1). Однако сначала необходимо дать строгое определение понятия конечного и беско­ нечного множества. При этом нам придётся существенно использо­ вать свойство натуральных чисел, строгое обоснование которых будет дано лишь в главе I I I . Читателю нужно убедиться, что в наших рассуждениях нет порочного круга. Для этого достаточно проверить, что при обосновании в главе I I I свойств натуральных чисел, применяемых в первых двух главах, мы нигде не пользуемся полученными в этих главах результатами. О п р е д е л е н и е 1. Множество натуральных чисел, меньших или равных некоторому натуральному числу п, называется от­ резком натурального ряда и обозначается через | 1 , п\. О п р е д е л е н и е 2. Множество, равномощное отрезку нату­ рального ряда, а также пустое множество, называется конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Иными словами, конечное множество (если оно не пусто) есть такое множество, элементы которого можно «пересчитать», т. е. перенумеровать так: a a , а , причём все элементы будут за­ нумерованы, все числа от I до п будут использованы и различные элементы получат различные номера. Бесконечное же множество такое, элементы которого так «пересчитать» нельзя. Из свойств 2) и 3) равномощности, приведённых в предыдущем параграфе, следует, очевидно, что множество, равномощное конеч­ ному (или бесконечному) множеству, само будет конечным (соот­ ветственно, бесконечным). Т е о р е м а 1. ( О с н о в н а я т е о р е м а о к о н е ч н ы х м н о ­ ж е с т в а х . ) Конечное множество не равномощно никакому его собственному подмножеству и собственному надмножеству. Д о к а з а т е л ь с т в о . Каждое из двух утверждений теоремы (о неравномощности подмножеству и надмножеству) легко следует из другого, так как, если А~В и А^эВ, то из конечности одного из множеств А и В, как было отмечено выше, следует конечность другого. Докажем, например, что конечное множество А не равномощно его собственному подмножеству. Для пустого множества А = 0 теорема верна, так как пустое множество вовсе не имеет собственных подмножеств. Пусть А^ЬО. Тогда по определению ко­ нечного множества множество А равномощно (по крайней мере одному) отрезку натурального ряда 11, п\. Докажем индукцией по числу п'), что А нельзя взаимно однозначно отобразить на его собv s я — — г — • ) Заметим, что нельзя вести индукцию по числу элементов множества А, так как понятие о числе элементов вводится нише с применением теоремы 1.