* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОЖЕСТВА 81 случае бесконечных множеств, причём невыписанные элементы за­ меняются многоточием. Так, множество натуральных чисел обозна­ чается { 1 , 2, 3 , . . . } , а множество чётных чисел {2, 4, 6 , . . . } , при­ чём под многоточием в первом случае подразумеваются все нату­ ральные числа, а во втором — только чётные. Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множе­ ства А принадлежит В и, обратно, каждый элемент В принадле­ жит А. Тогда пишут А = В. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трёх элементов а, Ь, с допу­ скает шесть видов записи: {а b, с} = {а, с, * } = {*, а, с} = {Ь, с, а} = {с, а, Ь} = {с, Ь а\. Из соображений формального удобства вводят ещё так называ­ емое «пустое множество», а именно, «множество», не содержащее ни одного элемента. Мы будем обозначать его символом О (совпа­ дение с обозначением числа нуль не ведёт к путанице, так как смысл символа каждый раз ясен). Если каждый элемент множества А входит во множество В, то А называется подмножеством В, а В называется надмножеством A Пишут i 4 c z £ , В 42 А (словами: А входит в В или А содер­ жится в В, В содержит А). Очевидно, что если 4 с 5 и 5 С Д то А = В. Пустое множество по определению считается подмно­ жеством любого множества. Если каждый элемент множества А входит в В, но множество В содержит хотя бы один элемент, не входящий в А, т. е. если Ас^-В п А ф В, то А называется собственным подмножеством В, а В — собственным надмножеством А. В этом случае пишут A d В, В^А. Например, запись АфО и Л = > 0 означает одно и то же, именно, что множество А не пусто. Заметим ещё, что надо различать элемент а и множество {а} содержащее а в качестве единственного элемента. Такое различие диктуется не только тем, что элемент и множество играют неоди­ наковую роль (отношение а£А не симметрично), но и необходи­ мостью избежать противоречия. Так, пусть А = {а, Ь} содержит два элемента. Рассмотрим множество {Л}, содержащее своим един­ ственным элементом множество Л. Тогда Л содержит два элемента, в то время как {А\ — лишь один элемент, и потому отождествле­ ние этих двух множеств невозможно. Поэтому мы не будем при­ менять запись а с = Л , сохраняя обозначение ad А. П р и м е р ы м н о ж е с т в . Примеров множеств можно привести сколько угодно. Так, можно говорить о множестве всех букв дан­ ной книги, причём одна и та же буква на разных страницах или разных строках одной страницы считается за два различных элемента множества, о множестве всех людей земного шара, причём надо сделать предположение, что в рассматриваемый момент времени % % f 9 в Энциклопедия, кв. 1.