* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПОМЕСТНЫЕ ИЛИ ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 47 3) Абак с древнейших времён был в употреблении у египтян, греков, китайцев, римлян, а между тем ни один из этих народов не пришёл к позиционной системе Более правдоподобно предположить, что и абак и позиционная система возникли из одного и того же источника — группового счёта и благодаря одним и тем же историческим процессам. Бозникновение позиционной системы можно представить следую­ щим образом. Принцип позиционности является по существу соедине­ нием двух принципов: 1 ) мультипликативности и 2) опускания при письме разрядовых единиц. Завершается позиционная система введе­ нием нуля. Для объяснения происхождения позиционного принципа прежде всего следует объяснить появление мультипликативной формы записи, являющейся, кстати, одновременно основой изображения числа на абаке. Разберём сначала, чем принципиально отличается мультипликатив­ ная форма записи от аддитивной. С чисто алгебраической точки зрения запись, например, числа 30 в виде Шх или Х является выражением закона дистрибутивности. Действительно: П | XXX = X - f X - f X = ( I - f - I - f I ) X = I I I x или X . m С другой стороны, запись вроде 1Нх выражает тот факт, что при счёте десятки принимаются за новые единицы. То же имеет место и при счёте сотен, тысяч и т. д. Итак, мультипликативная форма записи наиболее отчётливо отражает тот факт, что при счёте опре­ делённое множество единиц первого разряда принимается за еди­ ницу следующего разряда, определённое множество единиц второго разряда принимается в свою очередь за единицу третьего разряда и т. д. Это достигается тем, что для выражения известного коли­ чества единиц различных разрядов применяются одни и те же чис­ ловые символы, после которых отмечается, к какому разряду при­ надлежат сосчитанные единицы. Этой же записью подчёркивается, что объектами счёта могут быть элементы любой природы (вещи, определённые множества вещей, десятки их, сотни и т. д.), а это в свою очередь выражает важнейшее свойство отвлечённого числа быть общей формой, свойственной самому различному конкретному бытию. Но как раз такой способ счёта, как мы отмечали, имеет место при счёте числами-совокупностями. Так, африканские негры, веду­ щие счёт на камешках или орехах, складывают их в кучки по 5 предметов в каждой. Пять таких кучек они объединяют в нову^р кучу и т. д. Очевидно, здесь сначала ведётся счёт камешков, затем *) Ср. примечапия И. Тимченко к цит. книге Кэджори, стр. 318—320.— Следует отметить, впрочем, что И. Ю. Тимченко полагал, что «идея поме­ стного значения знаков, весьма вероятно, родилась при употреблении абака, даже и не снабжённого меченными жетонами» (там же).