* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАЧАЛЬНАЯ СТАЛНЯ РАЗВИТИЯ СЧЁТА 17 К сожалению, материалы, имеющиеся в нашем распоряжении, не позволяют достаточно определённо связать различные этапы разви­ тия счёта с данной Энгельсом в работе «Происхождение семьи, частной собственности и государства» периодизацией доисториче­ ских ступеней культуры. Ещё и в наше время известны народы, в языке которых имеются только два числительных: один и два. У многих племён Австралии и Полинезии в самое недавнее время этим дело и ограничивалось. При помощи сочетания названных числительных эти племена обра­ зуют числа 3 = два-один, 4 = два-два, 5 = д в а - д в а - о д и н , б = д в а два-два. Так, например, у западных племён островов Торресова пролива единственными числительными являются 1—урапун и 2 — окоза. Далее они считают 3 = окоза-урапун, 4 = окоза-окоза, 5 = = окоэа-окоза-урапун, 6 = окоза-окоэа-окоза. Этот способ счёта положил начало древнейшей из всех систем счисления — двоичной системе Следы её мы находим неоднократно в египетском спо­ собе умножения и деления, в системе египетских дробей ) , в том, что во многих языках, например в старославянском, наряду с един­ ственным и множественным числами имеется и двойственное число ). 2 3 % ') Для устной и письменной нумерации двоичная система неудобна, так как запись чисел в ней слишком длинна (например, число 777 в пей запи­ шется 1100001 001), но она имеет и существенные преимущества. На принципиальные достоинства двоичной системы первый обратил вни­ мание Лейбниц, отмечавший особую простоту операций в ней (таблицы сло­ жения и умножения сводятся к 1 + 1 = 10, 1-1 = 1; при делении не нужны догадки и пробы). Лейбниц не рекомендовал эту систему взамен десятичной для практического счёта, но подчёркивал, что «вычисление с помощью двоек, т. е. 0 и 1, в вознаграждение его длипнот, является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то об­ стоятельство, что при сведении чисел к простейшим пачалам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок» (в Explication dc l'arithmetique binaire, qui se sert des seuls caractferes 0 el 1, avec des remarques sur son utilite, 1703 в Leibnizens malheraatische Schriften, hsg. v. С. I . Geihardt, т. VII, Halle, 1863, стр. 225; ср. там же письма Лейбница к Шуленбургу от 1698 г.). Дей­ ствительно, двоичпая система оказалась весьма удобной в ряде теоретиче­ ских исследований. Лейбниц, однако, не предвидел, что двоичная система принесёт пользу в вычислительной математике, — именно будет положепа в основу устройства электронных счётных машин, как это произошло в последнее время. Произ­ водство вычислений па таких машинах' с избытком компенсирует затрату труда па переход от десятичной системы к дволчпой в начале операций и обратный переход в окончательном результате. См. Л. Д. К у д р я в ц е в , О принципах производства арифметических операций на вычислительных машинах. Успехи математических наук, т. V, вып. 3 (1950). ) См. в параграфе, посвящёвном дробям, о роли половинного ряда в старинных русских дробях. ) В некоторых языках существовало и тройственное число как пере­ житок троичной системы. На особую древность первых трёх числительных указывает и то обстоятельство, что во многих языках они в отличие от остальных числительных изменяются по родам (один, одна, одно; два, две; лат. ires, tria). а 8 2 Энциклопедия, к н . 1.