* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Е МЕТОДЫ А Н А Л И З А 206 Отделение корней у р а в н е н и я . Отделение корней уравнения f(x) = 0 состоит в определении двух чисел а и Ь, между которыми находится только один действительный корень уравнения. Если левая часть у р а в ­ нения / (х) представляет собой непрерывную функцию и уравнение / ( . * ) = О имеет действительные корни, то, придавая х различные после­ довательные числовые значения и вычисляя соответствующие значения функции / (х), можно определить т а к у ю п а р у близких между собой зна­ чений а и b (а < Ь), при которых значения функции будут иметь разные знаки. В этом случае между а и b находится по крайней мере один действительный корень нашего уравнения. Продолжая вычислять з н а ­ чения функции для значений х, расположенных между а и Ь, можно интервал (а, Ь) заменить меньшим интервалом {а , Ь'), на концах кото­ рого / (х) т а к ж е имеет разные знаки, и так можно продолжать до тех пор, пока этот интервал не станет меньше абсолютной погрешности, с которой желательно определить корень уравнения. Например, если дано уравнение х \g х — 1,2 = 0, то для отделения корня составляют таблицу значений х и соответствующих им значений /(*) = * l g * - l , 2 . 1 X / (.V) = x\gx — 1,2 X / (х) = х \g х - 1,2 -0,6 + 0,23 + 1.21 1,2 0 0.2 0.4 0,6 0,8 — — — — 1,2 1,34 1,36 1,33 1,28 1.0 2,0 3.0 4,0 Эта таблица показывает, что / (2) и / (3) разных знаков, а потому в интервале (2, 3) находится корень уравнения х \g х — 1,2 = 0; умень­ шая указанным способом найденный интервал, можно было бы найти значение этого корня с любой точностью. Указанный метод отделения корней непригоден для отделения крат­ ного корня функции / (х), если кратность корня четная (или в случае наличия четного числа весьма близких корней). Такой корень является простым или кратным корнем не­ четной кратности производной /' (х), и его отделение может быть произведено при помощи указан­ ного выше способа, который сле­ дует применить к / ' (л*). Следует, конечно, иметь в виду, что не вся­ кий корень функции / ' {х) служит корнем функции / (х), поэтому не­ обходимо произвести проверку, подставляя найденный корень в f(x). Линейная интерполяция (ме­ тод хорд). При применении этого метода следует предварительно произвести отделение искомого Рис. 1-188. корня уравнения / (х) = 0. Уточ­ нение значения корня произвоMi (b-a)f(a) , . (b-a)f (b) дится по формуле * < n = a - J ^ ^ I J ^ * * ~ / 7 * Г = 7 Й " Найденное по этой формуле приближенное значение корня является абсциссой точки пересечения хорды MNi кривой v = / (•*•") с осью X (рис. 1-188), в то время как точное значение корня — абсцисса точки пересечения дуги MNi с осью X. n и л и ш в