* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 19) Второе из этих уравнений [р — <р(р):£0] является линейным (отно­ сительно функции х и производной общее решение сов­ местно с первым уравнением определяет в параметрической форме общий интеграл уравнения Лагранжа. Если р — f (р) = 0 при р = р , то у = .v с ( р ) - f ф ( р ) есть особое р решение уравнения Лагранжа. и е г о 0 0 0 § 1-23. Уравнения высших порядков Теорема существования (Коши). Для того чтобы уравнение у^п) = = / (•*» JV» У'» ••• » _у я-1>) имело единственное решение у = ср ( * ) , непре­ рывное в окрестности точки х И удовлетворяющее начальным условиям: V = .Уо. У' —Уо У" ^у(п— 0 при дг = дг , достаточно, чтобы ( а _ 1 ) 0 функция / [х, у, yi Уп-l^' ' ' - n - i ~ *ые между собой аргументы, в некоторой окрестности точки (,v , у , Уо* ••• ' У ^ ~ * * " аргументов, удовлетворяющих системе неравенств x — h < .v < х -f- h, Уо — <.У <.Уо - k, 0 0 т е д л я в с е х з н а ч е н н k u Q 0 г д с х у У х v н о з а в и с и л у' -Ь1<У1<Уо + Ь1, ... V i - V i - o " + *"- ' h, k, k\, ... , — некоторые положительные постоянные, была не­ прерывна и удовлетворяла условию Липшица < < v n l , 1 0 r M I / (х, у, ух у _) п г - / (х, у , y + t у_) п х < | + ... + \ у п < А ( \ у - у \ \yx-yx ^ ~У _х п I). Общее решение уравнения уМ) = / (х, у , у ' у ( я - D ) содержит п произвольных постоянных С ь С * . ••• » С и геометрически изобража­ ется «-параметрическим семейством интегральных кривых. Любая система начальных условий вида у = у ; у* — у' ... , yin-v = = у№—П р случае, если выполнены условия теоремы Коши, позволяет найти значения C j , С о , ... ,С , определяющие соответствую­ щее частное решение. Уравнения, д о п у с к а ю щ и е п о н и ж е н и е порядка. Понижая порядок при помощи подстановки у ' = р , можно получить общие решения для некоторых дифференциальных уравнений второго порядка. л 0 % П И х = X q в п # с* dv Г 1) Уравнение у " = f{y)\ общее решение х=± \ — JV2$f(y)dy-tCx d y Г . ; 2) Уравнение у " = / С У ) ; общее решение х*=* f — J „ -f- Са, где 9 СУ» C I ) для отыскания функции р = с р ( д > , Ci) следует разрешить равенство v = С - £ — £ - л. Сх относительно р . J /\Р) 3) Уравнение у " = / (х, у ) : общее решение у =» Jcp (х, Сх) где р = ср (д:, C i ) — общее решение уравнения ^ 4) Уравнение у 1 1 dx+C$ t = / (дг, р). f — ^ J 9 (J. С. i ) = / (у, у ) ; общее решение х= -f- Са, где р = ср (у, Ci) — общее решение уравнения р = f {у, р ) .