* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 193 получаемое из общего решения ни при к а к и х значениях входящей в него произвольной постоянной), называется особым * ) . График решения дифференциального уравнения называется интег­ ральной кривой этого уравнения. Общее решение уравнения первого порядка изображается, следовательно,однопараметрическим семейством интегральных кривых. Дифференциальное уравнение у* — / (х, у) задает угловой коэф­ фициент касательной к интегральной кривой как ф у н к ц и ю координат точки касания. Совокупность точек, в которых определена функция / (х, у), и отрезков, на­ правленных по касательным к интегральным кри­ вым, проходящим через эти точки, образует так называемое поле направлений данного диф­ ференциального уравнения. Кривые / (х, у) = const называются изокли­ нами. Во всех точках каждой изоклины каса­ тельные к проведенным через эти точки инте­ гральным кривым параллельны между собой. На (рис. 1-183) изображены интегральные кривые (окружности х* -\- у = С) и изоклины (прямые у = , х Рис. 1-183. = kx) для уравнения у ———. 2 Уравнения в п о л н ы х д и ф ф е р е н ц и а л а х . Уравнение М (х, у) dx -fесли имеет место тождество = , дифференциалах. вид и (х, у) = С, где . ... . ... е. du = Mdx - f Ndy. формулой и (JC, у) =- - j - А (х, у) dy = 0 в случае, называется уравнением в полных (точных) Общее решение такого уравнения имеет ди (х, у) ди (х, v) , ду — = N (х, у), т. Ox — Л1 (х, у); Функция и (x,. у) определяется при этом , . .. . ч = ^М (х,у) dx-\-y(y),где<р(_у)находится j N (х, у). изуравнения ~ | ^ A I ( j c , . y ) dx -f- дМ dN Если условие = не выполнено, то существует такая функ­ ция | I ( J C , у) (интегрирующий множитель), что уравнение Mdx-\Ndy=0 обратится в уравнение в полных дифференциалах после умножения на jx (х, у). В качестве интегрирующего множителя можно выбрать любое ча­ стное решение уравнения д (\хМ) ду б (цЛГ) дх или dln\i <1 { 9 пх дМ N —~- — М - ~ = -з Ох Оу ду дМ Оу dN Ох дМ —. дх зависит только от х, то N при отыскании интегрирующего множителя можно предположить, что он тоже зависит только от JC. Уравнения с р а з д е л я ю щ и м и с я п е р е м е н н ы м и . Уравнение вида у' = < (x)ty (у) называется уравнением с разделяющимися р переменными. *) Во всех точках кривой, изображающей особое решение, наруша­ ются условия теоремы Коши. Если, в частности, выражение 7 Физико-технический справочник