* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

192 MATFMАТИКА Если плоское векторное поте А (*, v) является потенциальным (безвихревым) во всех точках, кроме конечного числа точек Af Л1 , . . . ... , М , в которых условие потенциальности нарушается или теряет смысл из-за обращения в бесконечность хотя бы одной из частных производных, входящих в это условие, то циркуляция по замкнутому контуру, внутри которого находятся точки М., может быть отлична от нуля. Если циркуляция по контуру С (обходимому однократно против часовой стрелки), ограничивающему область, внутри которой находится лишь одна из этих точек М., равна Г и отлична от нуля, то точка М. называется вихревой точкой, а число Г — интенсивностью вихря в точке Af.. В случае пространственного поля роль вихревых точек играют вихрезые линии, а контур С обходит вихревую линию (т. е. вих­ ревая линия пересекает область, ограниченную контуром С и лежа­ щую на произвольной поверхности, проходящей через контур О . Для записи формул векторного анализа удобно пользоваться опера­ тором Гамильтона V (набла). где У — символический вектор: у = l t 2 п с с s= ^ \ -+- ~ j -f- ^ - k . Так, например, grad / = \f; div A = \A; rot A =a - V X A; ^V = * * Глава 1-9 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравне­ ние, содержащее аргумент, искомую функцию этого аргумента и ее произ­ водные различных порядков F {х, у, у* у( Ь = 0. Наивысший порядок производной искомой функции в данном уравнении называется порядком этого уравнения. Всякая функция, которая, будучи вместе со своими производными соответствующих порядков подставлена в дифференциальное уравнение вм сто ИСКОУОЙ функции и ее производных, обращает уравнение в тож­ дество (удо и^тзоряет уравнению), называется решением (интегралом) дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения может содержать произ­ вольные постоянные. Для определения этих произвольных постоянных требуются дополнительные условия. п § 1-22. Уравнения первого порядка 0 Т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я (Коши). Если в некоторой области пло­ скости XY, содержащей точку (л* , Уо)* функция / {х, у) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица \ / (х, yi) — f (х, у ^ \ < А \ yi — у% | (А постоянно для данной области), то существует, и притом только одна, непрерывная в некоторой окрестности точки {х , у ) функция _у = ср (х), являющаяся решение л уравнения у = f {х, у) й удовлетво­ ряющая начальному условию у = VQ при х = х . Всякое решение, о котором идет речь в теореме Коши (при задан­ ных значениях XQ И уо), называется частным решением дифференци­ ального уравнения. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Общее решение уравнения первого порядка содержит одну произволь­ ную постоянную С Решение уравнения, не содержащее произвольной постоянной и не являющееся частным решением (и, следовательно, не 2 () 0 1 п