* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Равенства, связывающие вектор А с его вихрем: 191 скалярную функцию / с ее градиентом и § fdS-ffi ст gnd f dV; V I A X r f S = - f f i rotArfK. ст V Здесь У — замкнутая поверхность, а V — объем, ею ограниченный. Поле вектора А называется потенциальным, или безвихревым, если вектор А является градиентом некоторой функции / (дг, у, г), называ­ емой потенциальной функцией: А =* grad / ; в этой случае: х Ш- у = %' г % " " Р в е н и е AJx+Ajly + •f A dz = df является полным дифференциалом; для этого необходимо и достаточно, чтобы 9 А = А А = и дА, ду Ё. t5A дА У = одг ' дг дА, дА„ - = 0У дх ' дх дА х х = О, ду т. е. чтобы вектор rot А равнялся нулю в каждой точке. В потенци­ альном поле циркуляция вектора по любому замкнутому контуру С равна нулю Ф A„ds = 0. i Поле вектора А называется соленоидальным, если в каждой точке дЛ дА„ дА, поля div А = 0, т. е. - ~ = + + -с-= = 0; в этом случае поток векдх ду дг тора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Если поле является одновременно потенциальным и соленоидальным, то div grad / = 0 ( / - потенциальная функция) и потенциальная функция является гармонической, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа ж 1 7 дх* ^ ду* ^ дг* о п е а т о д* д* д* дх* Ъу* Jz* ~~ Р Р Лапласа). Если дивергенция вектора А равна нулю во всех точках векторною поля, за исключением конечного числа точек М\, М%, ... , М , в которых условие соленоидальности нарушается или теряет смысл дА из-за обращения в бесконечность хотя бы одной из производных - ^ г » $А дА ду' ~дг' Р А через поверхность, внутри которой на­ ходятся точки AI., может быть отличным от нуля. Если поток вектора А через замкнутую поверхность <т, ограничивающую область, внутри которой содержится лишь одна из этих точек М., отличен от нуля и равен N , то точка Ж . называется источником, если N > 0, и стоком, если N < 0 . Число N называется при этом интенсивностью (или обильностью) источника или стока. Аналогичным образом определяются понятия источника, стока и интенсивности в случае плоского поля (вместо потока через замкнутую поверхность рассматривается поток через замкнутый контур). (Д = + + п х 1 0 п о т о к в е к т о а 9 9 9 a