* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

176 МАТЕМАТИКА О ц е н к а о с т а т о ч н о г о ч л е н а . При помощи разложения функции в степенной ряд вычисляюiся приближенные значения алгебраичегкчх и трансцендентных функций. Ошибка, совершаемая при замене суммы ряда его частной суммой, равна остаточному члену ряда. При такого рода вычислениях требуется уметь решать следующие три основные задачи: 1. Оценить ошибку, зная число членов частной суммы, принятой за приближенное численное значение функции, т. е. оценить | R (х) \ при данных значениях п и х. 2. Задавшись максимально допустимой величиной ошибки, напги число членов частной суммы, которую можно принять за искомое чис­ ленное значение функции, т. е. найти наименьшее п из неравенства | R {х) К б, где х и 6 даны. 3. Определить, для каких значений аргумента приближенная фор­ мула, полученная заменой суммы ряда его частной суммой с определен­ ным числом членов, дает ошибку, не превышающую заданной величины, т . е. решить относительно х неравенство | R ( д г ) < 6 , где л и Ь из­ вестны. n n Пример ^ 21 ^ 1. Какова величина допущенной ошибки, если положить 31 ^ 41 х Берем в разложении функции е »a R (х) n остаточный член в форме Лагранп ==4 и*=1, то е* <: х е ; х так как е «z 3 и | / ? 4 ( 1 ) 1 < ^ = 0,025. Пример 2. Сколько нужно взять членов ряда X е = = 1 X X * + " * ~ 1 7 2 Г ~ 1 ~ ••• » чтобы вычислить число е с точностью до 0,0001? е В Имеем: R {l) n = ( _j_ щ Д ; О * < е < 3 . Следовательно, достаточно взять п, удовлетворяющее неравенству - — < 0,0001; наименьшее (л 4-1)1 значение, удовлетворяющее этому неравенству л = 7 (8! =.40320); итак, с точностью до 0,0001 > П р и м е^р 3. cos л* 1 ^ И^ 21 ^ 31 ^ 41 ^ 5! ^ х 61 + 71 * формула При каких значениях приближенная 2~ дает ошибку, не превышающую 0,001? 8 Здесь л = 3, R (х) = х^ х^ х*; так как | cos Ьх \ < 1, то | # 8 (х) | < <С-^у. Решив неравенство — ч : 0,001, получаем Iх | У0,024 =ъ 0,394 (радианов) 22°23'. Р я д ы Ф у р ь е . Р а з л о ж е н и е в р я д Ф у р ь е . Если функция / ( * ) , опре­ деленная в интервале (—тс, п), удовлетворяет условиям Дирихле, т. е. если она в этом интервале: а) равномерно ограничена (т. е. существует