* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

168 МАТЕМАТИКА Ермакова, Признак Даламбера может быть получен из признака если положить <р (х) = х -\- 1. П р и м е р . Приняв при исследовании сходимости ряда 1 , 1 , 1 , ь г + з Т Т + б^б " 4 , 1 (2л-i)2/i | f (х) es е , х получаем: и H m 94x)f[ {x))_ f H m * ( 2 * - l ) 2e - 1 x = 0 < | > JC —oo /(•*) x-+oo Следовательно, данный ряд сходится. З н а к о ч е р е д у ю щ и е с я р я д ы . Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда U\ — us + и — и 4- . . . + ( — 1) +1 « -f-. . . (здесь через и\ и$, . . . обозначены абсолютные величины членов ряда): если lim и = 0 и, начиная с некоторого п (т. е. для всех п-*со п >: N), абсолютная величина члена ряда изменяется монотонно (и >.и , . ^ . . . ) , то знакочередующийся ряд сходится (теорема i. П /2+1 Лейбница). Если ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то абсолютная величина остатка ряда при п ^ N не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена ряда | R ] ^ +\. п ъ А л ч п и п Например, ряд 1 i - -f- ~--f-... сходится, так как оба ус­ ловия, входящих в признак Лейбница, выполнены. А б с о л ю т н а я и у с л о в н а я с х о д и м о с т ь . Если ряд | а\ \ + | « 2 ! + + . . . -f- | а | + . . ..составленный из абсолютных величин членов данного ряда а\ + а% + • • • + п + • • •» сходится, то данный ряд тоже сходится и называется абсолютно сходящимся рядом. Например, ряд 1 — -f— - f . . . сходится абсолютно, так как ряд, членами которого являются абсолютные величины членов этого ряда, сходится, как это можно установить, например, с помощью ин­ тегрального признака. Может случиться, что знакопеременный ряд сходится, тогда как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Та­ кой ряд называется неабсолютно (или условно) сходящимся. 1 1 1 Например, ряд I — -f- ~ъ сходится (см. теорему Лейбл а Z о 4 ница), в то время как ряд, составленный из абсолютных величин его членов (гармонический ряд), расходится; следовательно, данный ряд является условно сходящимся. Свойства а б с о л ю т н о и у с л о в н о с х о д я щ и х с я р я д о в . Переместительное свойство сложения, имеющее место для конечных сумм, рас­ пространяется только на абсолютно сходящиеся ряды: произвольная перестановка членов абсолютно сходящегося ряда не может ни нару­ шить сходимость этого ряда, ни изменить его сумму. Для условно схо­ дящегося ряда имеет место следующее предложение (теорема Римана): соответствующей перестановкой членов условно сходящегося ряда можно