* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ dr Касательная плоскость проходит через векторы r i = ^ касательные к и-линии и т>-линии в точке М. 0 П 163 dr и r j = ^- , Век гор r j X га паралле¬ е д е л я е т лен нормали. Орт нормали N0 = | г X г 1 Р положительное направление на нормали. Любая плоскость, проходящая через нормаль к поверхности, на­ зывается нормальной плоскостью. Если в некоторой точке на поверхности F *= Fy = F =• 0, то ка­ сательные к различным кривым, лежащим на поверхности и проходя­ щим через точку М, не лежат в одной плоскости и образуют кониче­ скую поверхность. Уравнения касательной плоскости и нормали см. на стр. 162. Обозначения: х, у, г — координаты точки М поверхности, в к о т о р о й проведены касательная плоскость и нормаль; X, У, Z— текущие ко­ ординаты;- г — радиус-вектор точки М; R — текущий радиус-вектор. П е р в а я к в а д р а т и ч н а я ф о р м а . Дифференциал дуги ds линии, ле­ жащей на поверхности, проходящей через точку М (u v) *) (линейный элемент поверхности), находится по формуле ds* = Edu* + 2F dudv + Q dv*, (*) x z t где * - < £ ) г , + < £ ) , + ( £ ) , - t 1 2 ~~ ди dv = ди dv "•" ди dv + » Р и с . 1-166. G (^) (^) =г 1. Правая часть формулы ( # ) называется первой квадратичной фор­ мой поверхности; ее коэффициенты зависят только от положения точки М на поверхности. Длина дуги линии и = и (г); v = v (г), лежащей на поверхности, ' 4 V * ( f f ) + * £ S + o(£)'* h , Vsss где / t\ — значения параметра г, соответствующие концам дуги. Две различные поверхности, имеющие одну и ту же первую квад­ ратичную форму, могут быть наложены одна на другую путем и з г и б а н и я (т. е. без изменения длин дуг на поверхности). Элементарная площадь, ограниченная линиями и — а; и 4- du = а; fc v + dv = к (рис. 1-166), находится по формуле 0 5 и dS=VEQ -F* dudv. К р и в и з н а . Две кривые, проходящие через точку М на поверхности и имеющие в ней общую соприкасающуюся плоскость, имеют в этой точке одинаковую кривизну (в частности, одна из этих кривых может быть плоской, т. е. целиком лежать в соприкасающейся плоскости). *) и и v — гауссовы координаты точки М, 6*