* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ных f(x, у) по длине дуги I к а к предел интегральной с у м м ы : п 139 1 i= i ne As. — длина элементарной дуги кривой A f ^ . M ; . Для с у щ е с т в о в а ­ ния э т о г о предела достаточно, чтобы функция / (дг, у) была н е п р е р ы в н а вдоль дуги /, а дуга I была кусочно-гладкой (см. с т р . 135). Аналогично определяется криволинейный интеграл от ф у н к ц и й трех переменных f(x, у, г) по длине дуги I пространственной к р и в о й п \f(x, у, z)ds = lim У / ( £ . , т ь , С.) As. J As.-*О ^ I t = l Свойство 2 криволинейного интеграла по проекциям ( с м . с т р . 136) сохраняется и для криволинейного интеграла по длине к р и в о й , а с в о й ­ ство I заменяется следующим: при изменении направления д в и ж е н и я по пути интегрирования криволинейный интеграл по длине к р и в о й не изменяется: 1 1 1 1 1 § fix. y)ds = ^f (х, у) rfs. /' I Вычисление криволинейного интеграла по длине кривой, т а к ж е к а к ч интеграла по проекциям (при сохранении у к а з а н н ы х т а м условий), сводится к вычислению определенного интеграла. При э т о м : 1) если уравнение к р и в о й у=у(х), т о ^ / (х, у) I Ь J fix, у(х)) Y\+[y4x)pdxt ds^ а 2) если уравнение к р и в о й х = х{у), то ^ f i > x y)ds Р mm I Y\+[x'\yWdy. ^f\x{y\y\ 3) если у р а в н е н и я к р и в о й заданы в параметрическом виде V=y[t), то x=*x(t), Т £ /(*. у) ds — £ /[х (0, у (f)] Y[x< (ОН + LV U) 1а dt *). I х *) Здесь не и г р а е т роли, к а к а я и з конечных точек дуги / — н а ч а л ь ­ ная, а какая — конечная. В правых частях формул верхний предел интеграла следует брать больше н и ж н е г о .