* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

138 МАТЕМАТИКА Для того чтобы криволинейный интеграл J Р{х, у) dx + Q (х, у) dy, где Функции Р(х, у) и Q (х, у) и их частные производные непрерывны в области S, имел одно и то ж е значение для всех путей, лежащих в односвязной области 5 и идущих от точки А {х , у ) к точке В ( х , у . ) необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное в ы р а ж е н и е Р(х,у) dx4+ Q \х, у) dy было полным дифференциалом, т . е. чтобы 0 0 дР В этом случае J Р (х, y)dx I + Q (х, y)dy=U gQ (x lt У1 ) -U{x . 0 y ), 0 где dU {x, y) = P (x, y)dx + Q (x, y) dy. Независимость интеграла от пути интегрирования в области S равносильна равенству нулю интеграла по всякому з а м к н у т о м у кон­ т у р у , л е ж а щ е м у в этой области. Если подынтегральное в ы р а ж е н и е представляет собой полный диф­ ференциал, но внутри контура имеется особая точка, в которой нару­ шается непрерывность функций Р (х, у) И Л И Q (Х, у) ИЛИ И Х частных производных, т о интеграл по такому контуру может о к а з а т ь с я не рав­ ным нулю, но в этом случае интеграл по всякому замкнутому контуру, окружающему одно и то ж е число р а з одну и т у ж е особую точку, сохраняет постоянное з н а ч е н и е . П р и м е р . Вычислить (j) * ^ I ^ j ^ * В Д° Л Ь П У Т И с » окружающего С один р а з начало координат (начало координат —- особая т о ч к а ) . Восполь¬ зовавшись параметрическими уравнениями о к р у ж н о с т и x = r c o s f ; y = r sin г, имеем: 2% Г xdy-ydx С dt« 2it. При помощи криволинейного интеграла можно вычислить площадь < ? области 5 по формуле = т г (j) xdy-ydx. где С — контур области 5 . Кроме рассмотренных выше криволинейных интегралов, называемых обычно криволинейными интегралами по проекциям (или интегралами второго типа), вводят криволинейные интегралы по длине кривой (интег­ ралы первого типа). Сохраняя принятые выше (стр. 134—135) обозначе­ ния, определяют криволинейный интеграл от функции двух перемен-