* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 93 Теорема Коши. Если функции f(x) и <р(х) непрерывны на отрезке [а, Ь) и дифференцируемы в интервале (а, Ь), причем ни в одной точке этого интервала f'(x) и <р' (х) не равны нулю одновременно и ср (a) z£.y(b), то и этом интервале найдется по крайней мере одна точка х=с, для / W - / < « > / ^ > . <р ( & ) - ср (а) <р'(с)' В о з р а с т а н и е и у б ы в а н и е ф у н к ц и й . Если для любых точек xi и х интервала (a, ft) из неравенства xi<.x следует, что / ( * i X / ( * ) , т о функция f(x) называется в этом интервале возрастающей. Если из неравенства х ^ х следует f(Xi)^>f(x ), т о функция н а з ы в а е т с я убивающей. Функция называется монотонной в интервале, если она в этом интервале возрастает (монотонно возрастающая функция) или убы­ вает {монотонно убивающая функция). Для того чтобы функция f(x) в некотором интервале в о з р а с т а л а (убывала), достаточно, чтобы во всех точках этого интервала f'(x)^>0 [соответственно f'(x)-/(.*) [соот­ ветственно / ( * о) Обо­ значение функции в точке максимума (минимума) н а з ы в а е т с я максимумом (минимумом) функции. Общее название для максимума и минимума — экстремум. В точке экстремума производная данной функции f'(x) либо равна нулю (рис. 1-84, а), либо не существует (рис. 1-84, б) (необходимое B р 2 2 3 2 2 0 которой б] Рис. 0 1-84. усювие экстремума). Если х — корень уравнения f'(x)—0 [или если /'(.v ) не существует] и имеется т а к а я окрестность точки л* , что во всех точках этой окрестности слева от XQ производная f (х) имеет один знак, а во всех точках справа от * — противоположный з н а к , т о точка *о является т о ч к о й экстремума (достаточное условие). При этом изменение знака (слева направо) с «-|-» на «—» соответствует точке максимума, а с «—» на «-{-» —точке минимума. Другое достаточное условие: если / ' ( * ) = 0 и / " ( * ) <;0, то * — точка максимума; если / ' ( * ) = 0 и f" (XQ)^>0, Т О * О ~ точка мини­ мума. 0 0 0 0 0 0 0 § 1-9. Ф у н к ц и и м н о г и х п е р е м е н н ы х О с н о в н ы е п о н я т и я . Функцией переменных х, у, z, ... н а з ы в а е т с я такая величина и [обозначение: u=f(x, у, z, . . . ) ] , которая принимает определенное значение, когда даны значения не зависящих друг от друга аргументов л\ у, z, ... Совокупность этих значений аргумен­ тов определяет область существования функции.