* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

86 2 МАТЕМАТИКА п последовательности а\, а ,..., а ,.... Если этот предел существует (и конечен), то последовательность называется сходящейся; в противном случае последовательность расходящаяся. Функция f(x) называется ограниченной, если существует такая постоянная К, что 1/(лг)|<АГ, и неограниченной— в противном случае. Бесконечно малой называется повременная величина, предел которой равен н^лю. Бесконечно большой называется переменная величина, предел кото­ рой равен бесконечности. Величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая; ве­ личина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая. Сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая. Произведение конечного числа бесконечно малых, а также произведение ограниченной величины на бесконечно малую, есть бесконечно малая. Если а(х) и р(л*)—-бесконечно малые при х^а и существует конеча (х) вый или бесконечный предел lim = А , то а(х) и Р(дг) называют х-+а г К*) бесконечно малыми одинакового порядка малости в случае, когда АфО и Афоо, и бесконечно малыми различных порядков, когда А=0 или А = оо. При этом если А=0, то а (дг)—бесконечно малая более высо­ кого порядка, чем ${х), а если А—со, то а (л*) имеет порядок малости ниже, чем р (х). В случае, когда А = 1 , а(х) и Р(лг) называются равносильными (эквивалентными) бесконечно малыми (обозначение: а ^ Р ) . ct (х} Если lim . . я A (A^tO и А=£оо), то а является бесконечно х—а IP (•*)!* малой порядка к относительно р. Порядок малости произведения нескольких бесконечно малых выше, чем каждого из сомножителей. Сумма нескольких бесконечно малых различных порядков имеет порядок наинизшего (в отношении порядка малости) слагаемого и рав­ носильна этому слагаемому (оно называется главной частью суммы). Если а с р , то а — ( — бесконечно малая более высокого порядка, 3 чем а и р . Если a~ai и ' 3 , то r Q lfc ± lim -7-Г-7- = lim х-+ Теоремы о пределах 2) lim ~* а Р(*> *->а Pit*) " (а —величина конечная или бесконечная): (*) + . . . + / ( * ) ] я 1) lim c=sc (с —постоянная); - l i m / i W + ilm / (х)+... ш + Нт / (*); х-*а 3) lim [fi{x).f {x)...f jc-+a 2 х—>а t х—а (*); lx)] = \im / i ( * W i m / ( * ) . . . lim / a л:-•a *-»a lim / {x) (с— постоянная); x-»a lim f(x) , 11111 4) lim [cf{x)]=c x-*a 6) lim 2 l £ L — *-a ?W если lim ? ?W (AT)^O.