* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

517 1 Эллиптические функции 518 р(и) IV- ао).зпм и между собой связаны. Так, между существует соотношение: 4 • где Л и В постоянные, зависящие от инвариантов. Н а р я д у с функцией о. во многих отношениях сходной с функцией 4 Якоби, оказывается целесообразным ввести еще три функции -А (А = 1,2,3). аналогичные функциям т*та. Теорал Э. ф. более стройно развер­ тывается на основе функций Вейер­ штрасса, в п риложенпях же более зна­ чительная роль принадлежит Э. ф. интегралу в eeuepuimpaccovou форме: Якоби. р Введенпе Э. интегралов и функций, усилив аппарат интегрального исчис­ м- / J V А ^ - у ^ - у . |/ . (12)- ления, значительно обогатило средства са математического анализа. С Э. ф. и ин­ Наоборот, обращение нптеграла (12), тегралами приходится иметь дело во рассмотрение его верхнего предела, как ; многих вопросах прикладной и чистой функции величины интеграла, приведет. математики. Так, Э. ф. встречаются в нас к Э. ф, Вейерштрасса — jd(u) ме ханике при изучении движения маят­ Три трансцендентные функции с, C.jO : ника, простого и сферического; ими составляют основу вейерштрассовой •пользуются при интегрировании урав­ теории Э. ф. Из них эллиптической iнений движения твердого тела, в не­ является лишь функция jf); две другие ; которых вопросах теории упругости потенциала. К Э. инте­ не периодичны, но при прибавлении к и теории аргументу чисел ш, и ш„ испытывают гралам и функциям приводят задачи незначительные изменения «функция С нахождения длины дуги эллипса, ги­ приобретает постоянное слагаемое, а перболы, лемнискаты, геодезических функция 5 —постоянный множитель); линий на поверхностях 4-го порядка кроме того, функция о, как мы видели и пр.; с помощью Э. ф. разрешается про­ целая, а С имеет 1 простой полюс. Функ­ блема униформизации (параметриче­ ция $ четная, а две другие нечетные ского иредставления) кривых 3-го по­ Любую Э. ф. оказывается возможным • рядка и вообще кривых I рода. В Э.ф. ин­ выразить либо через функцию о(«), ^тегрируются дифференциальные урав­ нения Пикара, в частности уравнение либо через С и ее производные Тфор- \ мула Эрмнта). либо через J0(w) и р '(и). Ламе; ими пользуются в некоторых во­ Через Функции Вейерштрасса выра­ просах алгебры (уравнения 5-й степени) жается и интеграл от Э. ф., вообще не и теории чисел (вопрос о разложении являющийся сам Э. ф. Для вейерштрас- числа на сумму квадратов). В теории совых функций существует также ряд • конформного отображения с помощью формул слолсения и приведения, как и Э. ф. производится отображение много­ для якобиевых; при этом Э. ф. jfi(u) угольных областей на верхнюю полу­ обладает алгебраической теоремой \ плоскость. Методами теории конформ­ сложения,, т.-е. jOd'i т алгебрии- ных преобразований можно также вос­ чески вырал:ается через ^ д » , ) и р (и.). пользоваться для изучения свойств Этим свойством обладает всякая Э. ф. j Э. ф.; с другой стороны, рассмотрение (Вейерштрасс показал, что всякая одно-! этих преобразований для некоторой значная трансцендентная аналнтиче- • группы отображений приводит к ин­ екая функция, обладающая теоремой тересной категории функций с .есте­ сложения, будет либо рациональной ственной границей . но могущих быть функцией от показательной, либо Э. ф.).,аналитически продолженными на всю Функции Якоби и Вейерштрасса просто комплекс)! vio плоскость (см. XLV.4.2,46)» s 1 1 Если раньше построить Э. ф. j 0 ( « ) , то из нее интегрированием можно вы­ вести функции С и з (этим путем и шел ВеПерютраес). Производная функ­ ции jQ.-.'O есть также Э. ф. и между ними существует важное соотношсни*-: 14д\11)}-=--1{&т:1*--д.4д(и) оъ • (И), где инварианты у» п g зависят от пе­ риодов Это соотношение позволяет решить задачу об обращении Э. ф.&(и), разрешая которую, мы приходим к Э. + * (13),