* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

513 Эллиптические функции. 514 формам, из которых более важными однозначной функцией sin и;, оказы­ являются интегралы I и I I рода-. вается целесообразным от многознач­ ных Э. интегралов перейти к функ­ Д йх циям им обратным. Эта чрезвычайно F (к, х) -х-) (1—к-х-) плодотворная мысль об обращении Э. интегралов принадлежат Абелю (1823) и Якобп (1827/. пришедшим к ней • (3), и независимо друг от друга (еще ранее этим вопросом занимался Гаусс). Об­ CY1 Е(к,х) da ращение Э. интегралов и приводит нас к Э. функциям. или в эквивалентной тригонометри­ ческой форме (после подстановки х = sin=): В интеграле I рода и - и» -sin-?' k'-s'm-? E где модуль амплитуда к—правильная нужно рассматривать верхний предел, амплитуду как функцию от значе­ (4), ния интеграла и: ? — am и . . (5). Тогда x = sh\-? ^ s m am и ) \1— / = co£-i — cos a m и дробь, а : 1 — ii-i -- Д a m и j -Интеграл F, взятый в пределах от 0 до что теперь записи!:а>-тея короче -Апи. , называется полным и обозначается х = snu, ] / l — х- — спи, ]/'~1—/.'• /V, если модуль /; заменить на При этом х — sn и, являющийся верх­ ним пределом Э. интегралi I рода к' — yi—k-. то соответствующий пол • в его алгебраической форме, оказы­ ный интеграл обозначается К. Лежанд- вается, так же как и две другие функ­ ром были составлены обширные число­ ции, однозначной аналитической функ­ вые таблицы интегралов I и i l рода, цией и. Следует притом отметить, что легшие в основание всех современных такое обращение является возможным таблиц. Обычно полагают k — s'mb и лишь для Э. интегралов; если степень значения Э. интегрллов располагают Р(х) выше 4-й—однозначность нару­ в виде таблицы с двойным входом, где шается. Полное доказательство этих 9 и о меняются в пределах от 0° до 9 0 . предложений сделалось возможным Э. интегралы в их алгебраической лишь с дальнейшим развитием теории форме обладают, как показали даль­ функций комплексного переменного нейшие исследования, рядом важных (Лиувилль, Эрмит, см.). функциональных свойств, и, в част­ Три функции sn м, с п « и йпи полу­ ности, Э. интеграл 1 рода, рассматри­ чили название якобиевых Э. ф. При ваемый в области комплексного пере- k = 0 sn и и сп и переходят в обычные t тригонометрические функции синус и менного,имея для х = ±1шх = ± ^ косинус, a d n » в 1. Функции эти, критические точки, обладает двумя по­ подобно тригонометрическим, перио­ лярными периодами и является т. обр. дичны, но в отличие от них обладают функцией бескинечномногозначной, двумя независимыми периодами (отно­ подобно функции arc sin «я. в которую шение которых мнимое). Аналогия тригонометрическими функциями он и переходит в предельном случае с к = 0. И подобно тому, как удобнее может быть продолжена п далее. Для иметь дело не с многозначной функ­ Э. Ф. существую? также формулы сло­ цией — аркевнусим. а с обратной ей жения и приведения: s n u + 4 ) рацио17 е bJ » меняется от— т-г" ДО + о"- j ' 1 —k-\r~ - J ' 1 — fc-sin-э — .