* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

243 Тригоноиетрия. 244 327/23 Две другие формулы получаются круговой гласно формулам Эйлера (см. X X I I , прил. 13) заменой. Отсюда следует (теорема синусов): sin А sin а (19) значит R , R os x = e ix . — ix +e ~ 2 • sm x = e ix _Jx —e . ——» 2i д р«д других более сложных соотношении. Для решения прямоугольных треугольников А— служат формулы. сое а = cos b cose. Bin b = sin a sin B, ton * - tan a cos C, tan 6 =s sin с tan B, (20) coa u = cot В cot C, cos В = cos d sin С R Полярным преобразованием их служат тре­ a e -e угольника со стороной 0 = 90°. Можно разли­ 21 iR' чить 6 основных случаев решения косоуголь­ ного сфер, треугольника. Эти функции (гиперболические) и надо под­ I п П. Даны 8 стороны или 3 угла. Можно пользоваться формулами (17) или (S8). Лучше ставить вместо прежних тригонометрических. Тогда, напр., основные соотношения (17), (18), преобразовать кх в форму (19) примут вид: R &m tanвли | / b i n (/? — b) sin(p-c) V sin pshi(p — a) E f sin ~ sin В \ {A-j) (21) a B Y 9 г eosfc ^ = со$Л -cosft ^ — sink ^ ашЛ~, cos * cos Л = — cos В cos С + sin В sin С cosh ^, taa = 5 sin Л эш/г ^ sin В зтЛ sin С ыпЛ ^« (23) 81п(в~|) 8tn(C-|) При атом следует иметь в виду, что- н а псев­ где 2p=a + b+c. Задача возможна, если р<18П° и д < Ь + с или если О < £ < 3 6 0 ° досфере одна или две и даже все три вершины треугольника могут лежать в бесконечности. яЛ > | 4. Первые сведения по Т. встречаются у ж е в Ш я I V , Даны 2 стороны я угол между ни­ древнейшей математической рукописи — папи­ русе Bhind (1700 — 2000 лет до в. е.). Отноше­ ми вди 2 угла и сторона между ними ние Seat есть, повидимому, косинус угла на­ Пользуемся формулами Непера: клона бокового ребра к плоскости основания пирамиды (обычно 5 2 ° ) . Предложения сфериче­ а--Ь ской Т. (cBegnla sex quantitation*) впервые вы­ сказаны в третьей книге сферик Менелая Алексендрийского (Рим, 98 г. н. е.). Он пользуется ««* -2—S+V при зтом, как и последующие авторы, вместо синуса понятием хорды двойной дуги- Первая , а— & таблица таких хорд, дающая возможность прак­ тического решения треугольников, дана Пто» , л-в fcsm — (22) sm 2 или полярно сопряженными. Задача всегда имеет единственное решение. V и VI. Даны 2 стороны и угол против одпой нз них или 2 угла н сторона против одного нз них. Снова пользуемся формулами Непера (22). 8адача не всегда возможна н может иметь 2 решения. Сфер. Т. имеет большие приложения в астро­ номии, ради потребностей которой она к была построена значительно ранее прямолинейной Т. (начатки уже у Птолемея, П век; см. ниже). Псеадо сферическая Т. не имеет таких прило­ жений. Вместе со сфер, н прямолищ. она пред­ ставляет единственно возможную Т., ибо только на поверхности постоянной кривизны треуголь­ ник вполне определен своими тремя элемен­ тами. Формулы псевдосфер. Т. выводятся нз формул сфер. Т. таким простым замечанием. Так кал кривизна сферы ^ , а псевдосферы того же радиуса — ~ (см. X L I , ч. 7, прил. 3 6 С / 6 1 ' ) t то радиус сферы R надо заменить на iR где / = у _ 1 . Радиус R входит в формулы сфер. Т. только посредством сторон, ибо а Ь с суть отно­ шения длин сторон к радиуоу сферы R. Сле­ довательно» теперь a, Ь, с в адо заменить на Р Т 5? /Й* 5? * ** " ~ о Р ° щ но со­ § % a Г А 6 т д я и а ы ст Автор вычисляет хорды через каждые 30 в 1/60 радиуса (тр^рлта), минутах и секундах с точн. до 10""*. Синус (как проекция дуги на диаметр) был введен в Индии под именем diyaVardha (половина хорды) астрономом Аръябхатма (род. в 476 г.). По сходству написания вто название у арабских писателей приняло форму дшанб (поарабски—грудь, сердце, сумка), буквальный перевод которого на латынь (Платон из Тиеоли, X l l в.) есть вшив. В арабском Багдаде (АбульВафа, 910—998) вводятся тангенс ж котангенс, как две тени (umbra versa, umbra recta), секанс и косеканс—как их диаметры. Автору известны соотношения между этими величинами, Здесь же Насир Эддин (1201—1274) впервые излагает Т. как самостоятельную дисциплину. В Риме Т. осталась неизвестной. Первые переводы Т. появились после завоевания Испании в Толедо в ХП в. (<Альмагест> в 1175 г.). Только в X V в. Региомонтакус (1436—1473) построил всю Т. си­ нуса, исходя из обычного его определения; он же составил новую таблицу синусов через ка* ж дую минуту. Таблицы всех 6 тригонометр. функций в их современном расположении дал Ретикуе (1514—1574). Развитие тритон, таблиц привело к использованию (протасферет инее кий метод) теоремы сложения косинусов для заме­ ны умножения сложением. Виета (1540—1603) систематически применяет вое 6 тригон. функ­ ций к решению плоских и сферических тре­ угольников. Виета, так же, как и Ретикус, отсту­ пил от названия sinus (perpendiculuni), comple­ ment! einue (basis) и т- д., у ж е в то время утвер/ лемеем Александрийским («Альмагест*, 150 г.).