* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

241 Тригоноиетрия. 242 известно уже из геометрии (сумма углов равна 1S0% два других дает Т. Задача значительно упрощается, если одчя из углов треугольника прямой (прямоугольный треугольник). Необходимые соотношения сей­ час яке следуют нз определения тр. величин 0), если рассмотреть прямоугольный треуголь­ ник OQM или OAR (см- черт.). Их можно фор­ мулировать так: катет равен гипотенузе, умноженной па синус противолежащего или косинус прялежчЧщего (катету) угла; катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежашаго (определяемому катету) угла или на котангенс прилежащего. Любые ава из этих соотношений можно считать за основные, остальные суть следствия их так же, как и теорема Пифагора. О помо* шью етих теорем легко решаются все основные (когда даны 2 основных элемента) случаи ре­ шения прямоугольного треугольника. Для косоугольного (пли безразлично тупо* угольного) треуголы ш ка етн со отиоше ни « имеют другую форму. Обозначим через А, В, С —углы, я, Ь с — соответствующие стороны (сторона а лежит против угла А, и т. д.), R— радиус описанного круга, г—радиус впнегть ного круга, 2р —периметр, s — площадь тре­ угольника. Тогда первая группа основных со­ отношений напишется: % (В и 180° — В); если при ©том Ь < а, то задача возможна" & имеет одно решение (оотрый угол); если b > а, то задача ^возможна только при А остром и тогда имеет два решения. Далее, как в I случав, I V . Даны три "стороны. Формулы (И) опре­ делят углы; для удобства логарифмирования их преобразую? в_одну нз трех форм; •а) О. (10 2 * р ip — а) Для определении площади служат формулы: 1 . ^ a sin В sin С 2sm А ip-C). (Щ 2 2 - \ р~(р — G) (р—Ь) abc Радиус сиие. круга R определяется по фор* Р C 2 муле (10) иди еще R = - ~ = -j ^ q~ ° 2 o s j C o s - cosгде Я[= 2р = а + £ + с. ~ Для р!адиуса впис. круга г имеем ^ - - ; р — a = r cot™. sin С = 2*. (10) Здесь между основными элементами тре­ Этими формулами можно пользоваться, ^едг* угольника Ш, Ь, г, А, Я, С) два независимых соотношения. Вторая группа основных соотло- данные отличаются от основных (особые сл.* чаи). Кроме того, еспи даны ( умна или раз* шеяпй получается из формулы ность двух сторон, то пригодны формулы Мильвейде; a* ss. &* + — 2 be cos Л, (11) В Л-В если одновременно вместо а и А подставить вш cos 2 Ь н В, вместо Ь я В подставить с и С и вместо (Ш "с С с я С подставить а п А (круговая замена). 8Ш cos Среди 3, получаемых таким образом, ра­ венств — 2 независимы и могут быть приняты аа основные. Наконец, можно принять за 3. Сферическая Т. рассматривает сферические основные 2 из трех, получаемых круговой за­ треугольники. Так как с увеличением радиуса меной из уравнения R сферы все размеры пропорционально увели­ чиваются, то формулы сфер. Т. содержат по a sz b cos С + с cos В. 02) длины сторон треугольника, а отношение сто­ роны к радиусу шара, т,*е. абсолютную меру . Каждая нз этих групп достаточна для реше­ дуги, которая образует сторону, или меру ее ния треугольника, но для удобства вычислений в градусах. Эту меру сторон мы обозначим бук­ с; углы треугольника по прежнему — (о логарифмами) их приходится значительно вами а, преобразовать. Можно различить 4 основных Л, В, С. При этом мы будем предполагать, что случая решения косоугольного треугольника. каждая оторона содержит меньше 180° (тре­ X. Дапы два угла И сторона. Третий угол угольники Эйлера). Сумма углов сферят. тре­ определяется из основного соотношения угольника более 180 ; разность Л + В+-С — я = Я называется сферическим избытком: ER* есть А 4-В + С = 180° остальные стороны —о по­ площадь треугольника. Точки пересечения со мощью формул (10). сферой диаметра, перпендикулярного плоско­ П. Даны две стороны и угол между ними, сти большого круга, называются его полюсами. напр. a, b н С. Образуя нз отношений (10) про­ Если мы установим определенное ваправлеизводную пропорцию, получаем новую формулу ние обхода сфер, треугольника н будем брать (форм, тангенсов) для каждой стороны треугольника ее, напри­ мер, левый полюс, то мы подучим новый сфер, А~В треугольник А В' С , полярно сопряженный tan данному. Стороны его дополняют углы основ­ а -Ь (13) ного треугольн. до 180°, в наоборот: а* = « — Л, а+ b A —• В J — А - к - л ' . Этими формулами определяется по* tan лярное преобразование. Сфер, треугольник определен элементами; •Здесь известно а, Ъ и А + В =г 580° — С; следа» значит, между его в элементами 3 должно быть вательно, найдем Л — В, затем по сумме и раз­ 3 независимых соотношения.Таковыми являют­ ности А и В. Далее, как в I случае. ся (теорема косинусов \; Ш . Даны две стороны я угол против одной нз них, напр. a, b и Л. Из формул (10) на* о¬ cos а cos b cos с + sin b sin г cos Л» (17) . ^ b sin А дим sin В — .Задача невозможна, если или полярная форма: а cos А = — cos В cos С +- sin В sin С cos а. (18) Ъ sin А > а; если b sin А = а, то В = 90°. Если sin А < а,, то по синусу найдем два угла й | 9