* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

423 Топология. 424 морфна отрезку прямой; т а р гомеоморфов ци­ Род двусторонней замкнутой поверхности линдру, но не гомеоморфен тору {рис. 1) и т. д. равен р, если эта поверхность гомеоморфна по­ Установление критериев гомеоморфности фи* верхности тела, состоящего из щара с р „Руч­ ками* (рис* 2); род поверхности шара есть нуль, поверхность тора имеет род X и т. д двусторонние замкнутые двумерные много¬ образия исчерпываются поверхностями конеч­ ного рода. Кроме замкнутых многообразий, рассматри­ ваются также открытые (состоящие из беско* вечного числа симплексов) и многообразия с краями. Помимо двусторонних существуют так­ же и односторонние многообразия. Н а рис. 3 дан пример односторонней поверхности с краем. Для всякой поверхности рода о (напр. для выпуклого многогранника) число вершин ми­ нус число ребер плюс число граней равно 2 Рис. 1* Тор. (Формула Eater*d). Различные обобщения этой формулы для многообразия любого числа изме­ гур относится к числу наиболее важных и рений играют важную роль в комбинаторной Т. трудных задач Т. Помимо многообразий, в комби аторной Т, В настоящее время можно указать три основ­ рассматриваются весьма часто более общие соных отдела Т. воку нооти симплексов—т. наз. комплексы. Изучение л-мерных комплексов (в частности многообразий) для я ^ > 3 представляет очень большие трудности. Важное значение имеют здесь т. наз. числа ВеШ; однако, как показал И. Ро£псагё, два многообразия о одинаковыми чис­ лами ВеШ могут быть не гомеоморфными друг другу. Большой интерес представляют также вопросы о взаимном расположении фигур („за­ цепления" и т. п.). П . Г. непрерывных отображений изучает свой­ ства многообразий, рассматривая однозначные (в одну сторону) и непрерывные отображения одного многообразия на часть другого (или самого себя). Важную роль играет здесь т. наз. степень отображения („Abbildimgsgrad ). Этими методами была, напр., впервые доказана инва­ риантность числа измерений, евклидовых про­ странств, т.-е. невозможность гомеоморфизма п - мерного эвклидова пространства с какой бы то ни было частью евклидова пространства низшего числа измерений (теорема Bronwer'a). К этому ж е отделу относятся теория вектор* Рис* 2. Двусторонняя замкнутая поверхность них полей и теория неподвижных точек непре­ рывных отображений. В качестве примера рода 3. приведем еще следующую теорему Brouwer's,: всякое взаимно-однозначное и взаимно-непре­ I . Комбинаторная 7*. изучает, прежде всего, рывное преобразование круга самого в себя замкнутые многообразия, т.-е. фигуры, соста­ сохраняет неподвижной по крайней мере одну вленные, по определенным законам, из конеч- точку. 6 a Ш . Теоретико-мно­ него числа т. н. сим­ жественная Т. при­ плексов шш влемен" меняет к геометрии тов; в одномерных методы теории мно­ многообразиях сим­ жеств (см. X I / V \ ч. 2, плексами (элемента­ ми) являются прямо­ 27/28, и Х Ы , ч. 7, линейные (криволи­ 865769' и 4517560нейные) отрезки, в Здесь изучаются наш двумерных — прямо­ более общие геоме­ линейные (искривлен­ трические образы— ные) треугольники, точечные множества. в трехмерных — пря­ Рис. 8. Пояс Moebius'a. Получается из полосы Надо отметить пре­ молинейные (искри­ abb'а' приведением в совпадение Ь'а! с аЬ жде всего понятие вленные) трехгран­ континуума* Контину­ (a попадает в £>, а V в а). ные пирамиды и т. д. умом в Т. называ­ Всякое одномерное ется всякое ограни­ замкнутое многообразие есть простая зам­ ченное замкнутое связное множество, отличное от кнутая линия, т.-е. фигура, гомеоморфная ок­ одной точки (замкнутое множество называется ружности. Всякая плоская простая замкнутая связным, если оно не может быть разбито на линия разбивает плоокость на две области два замкнутых подмножества без общих точек). (теорема Jordan*a). Целый ряд свойств точечных множеств, леf