* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
445 Теория чисел. 44$ мы уже встречались с арифметической функ числом называется всякий корень алгебраи цией г.(п). Исследование законов роста арифческого уравнения с целыми коэффициен метических функции (т.-е. функций, опреде тами. ляемых арифметическим путем) составляет Алгебраическое число называется целы.ч,. одну пз важнейших задач Т. ч. Обычно во если определяющее его уравнение может прос ставится так, что ищется возможно быть выбрано так, чтобы коэффициент при простая аналитическая функция, вакон ро его старшем члене был единицею. В отличиеста которой возможно точнее воспроизводил от алгебраических целых чисел обычные це бы поведение данной арифметической функ лые числа называют целыми рациональными ции при больших значениях п. Если 4(п) — Если дано какое-либо алгебраическое чи данная арифметическая функция, а фг) —та сло, то всякая рациональная функция этог о аналитическая функция, которая должна при числа с рациональными коэффициентами так ближенно выражать ее, то наиболее обычным же есть алгебраическое число. Совокупность является требование, чтобы отношение всех таких рациональных функций «аняого числа называется алгебраическою областьюопределяемой этим числом. Каждая алгебраи ческая область содержит бесчисленное мно («) жество целых чисел и, между прочим, — все стремилось к единице при безграничном воз целые рациональные числа. Целые алгебра растании числа щ если это требование вы ические числа, входящие в состав какой-ли полнено, функции ф(я) и х(п) называют взаим бо области, по своим взаимоотношениям во но эквивалентными или асимптотическими. многом напоминают обычные (рациональные) целые числа. Сумма, разность и произведе Так, функции щп) и у-^ взаимно эквива ние двух целых чисел данной области в свою лентны. Но большинство арифметических очередь являются целыми числами той же функций имеет столь сложное поведение, что области. При делении же (если только де его не удается имитировать с помощью про литель не нуль) мы всегда получаем число стых аналитических выражений. Так, функ той лее области, но не обязательно целое. ция *(»), выражающая число различных де Это дает повод рассматривать и здесь в'ь лителей числа «, имеет, очевидно, весьма просы делимости. Подобно рациональной об сложный характер; для всякого абсолютно ласти, во всякой алгебраической области простого п х(п) — 2, в то время как для над определяются абсолютно простые числа, и лежаще подобранных значений п х(п) может, легко доказывается, что всякое целое число очевидно, получать сколь угодно большие зна области может быть представлено, как про чения. Здесь не может итти речь об отыска изведение абсолютно простых чисел. Одна нии асимптотической функции. Однако, сред ко— и этим обусловливается главный инте рес дела — такое разложение на простые нее значение множители в алгебраических областях, во обще говоря, не оказывается единственным. t(l)-f t(2) Н ИМ Этот факт, открытый Кппдаег'ом в его ис п следованиях о Великой теореме Fermat, де также представляющее собою некоторую ариф лает теорию делимости в алгебраических об метическую функцию, имеет уже гораздо бо ластях сложной и многообразной и обусло лее правильный характер роста, благодаря вливает собою ее особую прелесть. Оказы взаимному сглаживанию больших и малых вается, что однозначность разложения может значений функции т(п); оно имеет простую быть восстановлена ценою введения фиктив асимптотическую функцию lgw. Аналогичные ных, так наз. идеальных чисел, что делает явления мы имеем и во многих других слу всю теорию стройной и легко обозримой. По чаях, вследствие чего приходится иметь де следователи Кшатег'а позднее заменили его ло, главным образом, с изучением средних „идеальные" числа вполне реальными обра значений арифметических функций. Помимо зованиями (так наз. „идеалами"), предста отыскания асимптотической функции, здесь вляющими собою определенные множества уделяется много внимания и второй пробле целых чисел данной области. ме— оценке погрешности, получаемой при В настоящее время теория алгебраических замене данной арифметической функции ее областей представляет собою широко разрабо приближенным выражением. Именно этого танную, весьма содерлсательную ветвь ариф рода вопросам посвящена большая часть со метики, проблемы которой до сих пор слу временной литературы об арифметических жат предметом многочисленных иесдедопафункциях. ний. Благодаря тому, что и здесь имеется Помимо обыкновенных целых чисел, о ко теория делимости, все проблемы мультипли торых была речь до сих пор, Т. ч. имеет кативной теории обычных чисел могут быть дело в первую очередь с так наз. алгебраис соответствующими изменениями перенесе ческими целыми числами. Алгебраическим ны на алгебраические области. АрнфметичеХ