* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

443 Т е о р и я чисел. 444 к обнаружению весьма интересных законо­ мерностей, сведенных Ganss'oM в цельную теорию. Учение о сравнениях явилось мощным вспомогательным орудием Т. ч. Оно позво­ лило во многих случаях значительно упро­ стить рассуждения и благодаря этому сделать прозрачными скрытые до тех пор закономер­ ности. В руках самого Gaoss'a это учение дало прежде всего систематизацию неопре­ деленного анализа второй степени. До этого систематически разработаны были только за­ коны решения в целых числах уравнений первой степени. Предшественники Gauss'a, хотя и много занимались уравнениями вто­ рой степени, все же всегда вынуждены были ограничиваться более или менее частными случаями. Только на основе теории сравне­ ний Ganss'y удалось рассмотреть вопрос в его общем виде и дать вполне законченные результаты для случая двух неизвестных. Задача приводится к решению в целых чи­ слах уравнений вида 2 ставлено в виде суммы четырех квадратоп (трех квадратов еще недостаточно, как по­ казывает пример числа 7 = 2 -f-12 -j-12 _j, + 12). Позднее удалось установить, что ка­ ждое число может быть представлено в виде суммы девяти кубов. Естественно, возник вопрос: можно ли для любого показателя fe найти такое число s, что всякое число мо­ жет быть представлено в виде суммы s fc-ых степеней? ( s = 4 при fc=2, s = 9 при fc=3). Это — знаменитая задача Waring'а. Она бы­ ла впервые решена в положительном смысле Ililbert'oM в 1907 г. Второе, гораздо более прозрачное доказательство было дано в 1918 г. Hardy и Littlewood'on; наконец, наиболее простое доказательство той же теоремы бы­ ло опубликовано в 1925 г. Виноградовым. Особенно замечателен метод, созданный английскими математиками Hardy и Littlewood'oM. Этот метод, основанный на теории функций комплексного переменного, распро­ страняется с большим успехом и яа ряд дру­ гих проблем аддитивной Т. ч. и, несомненно, представляет собою одно из лучших дости­ ах- Ъху - j - с*/ = т, (1) жений арифметики за последние десятилетия. В частности, с помощью этого метода впер­ где х и у — неизвестные. Левая часть этого вые удалось найти подход к известной про­ уравнения, при переменных ж и у, предста­ блеме Goldbach'a: доказать, что всякое чет­ вляет собою бинарную квадратичную форму; число, кроме 2, может быть представлено ное поставленная задача сводится, таким обра­ как сумма двух абсолютно простых чисел. зом, к вопросу о представлении данного чи­ Эта задача, поставленная почти 200 лет то­ сла m с помошью данной квадратичной формы. му назад, не тохько остается до сих жор Это естественно приводит к необходимости неразрешенной, но до создания нового ме­ построения арифметической теории квадра­ тода мы не знали к ней ни одного серьез­ тичных форм — теории» которая является ного подхода; правда, и сейчас еще пробле­ одним из лучших созданий арифметики и ма не решена; однако, метод Hardy и Littleдо настоящего времени привлекает к себе wood'a позволяет весьма глубоко проникнуть внимание исследователей. Значительный ин­ в сущность тех трудностей, какие лежат на терес представляют собою и различные об­ пути ее разрешения, и тем самым впервые общения этой теории, получающиеся либо подает нам надежду с течением времени разо­ путем увеличения числа неременных, либо браться в этих трудностях. повышением степени формы. Здесь область Наконец, в ряду классических проблей исследований становится уже значительно аддитивной Т. ч. необходимо упомянуть о так труднее. Чрезвычайно важный общий резуль­ наз. Великой теореме Fermat. Состоит она тат был получен в X X столетии норвежским в том. что уравнение математиком Time: оказалось, что, в то вре­ мя как уравнение (1), вообще говоря, может иметь бесчисленное множество решений, уравнение того же типа, где только в левой при любом данном п > 2 но может, быть ре­ части стоит (бинарная) форма степени выше шено в целых положительных числах. Fer­ второй, всегда (эа исключением нескольких mat утверждал почти 300 лет тому назад, тривиальных случаев) имеет же более конеч­ что ему удалось доказать это предложение; однако, этого доказательства не сохрани­ ного числа решений. Одну из самых трудных областей Т. ч. со­ лось, и, несмотря иа усилие ряда крупней­ ставляют так называемые аддитивные про­ ших ученых, вопрос остается до настоящего блемы, т.-е. вопросы, связанные с предста­ времени открытым. В многочисленных рабо­ влением числа в виде суммы слагаемых того тах, посвященных этому вопросу, удалось иди иного заранее заданного вида. Сюда от­ доказать справедливость утверждения Fer­ носится большая часть знаменитых задач Т. ч., mat для целого ряда отдельных значений я; отчасти не решенных в: до настоящего вре­ но в общем виде трудность проблемы столь мени. Перечислим важнейшие из этих задач. велика, что не поддается разрешению ника­ Уже Lagrange'eM было доказано, что вся­ кими известными нам приемами. Говоря о распределения простых чисел, кое положительное число может быть пред­ а