
* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
363 Теория вероятностей. 354 где tfi среднее квадратическое уклонение сдвигаются на линию регрессии, следова для чисел добавочной строки корреляцион тельно у есть функция от х, определяемая ной таблицы (черт. 8), а <г —среднее квадра- прямою (11) при г = :± 1, т.-е. тяческое уклонение для чисел, стоящих в добавочном столбце той же таблицы. Обе величины вычисляются тем способом, кото рый мы видели, говоря о распределении по Отсюда ясно, почему величина г названа одному признаку. Величина г вычисляется коэффициентом корреляции; она измеряет несколько сложнее; поэтому опускаем под силу корреляционной зависимости; когда робности этого вычисления, ограничиваясь г = О, зависимости не существует; чем боль тем, что скажем о нем ниже. Величина г ше г по абслютшй величппе, тем зависи называется коэффициентом корреляции. Из мость сильнее; при г= + 1 зависимость формулы (10) непосредственно видно, что г2 полная, функциональная. не может быть больше 1: иначе величина Рассуждения, которые мы делали о верти \/1 — г 2 , входящая в формулу (10), была кальных строях, молено применить и к строям бы мнима; следовательно, г заключается горизонтальным: 1) центры горизонтальных между — 1 и -f-1. Из той же формулы (10) строев расположены ва одной прямой: следует, что величина г имеет наибольшее значение, когда х и у равны 0; следователь x = f 4 (ПО но, поле точек наиболее густо при центре 2 распределения, что соответствует сказанному в самом начале. Мы знаем, что все строи, проходящей через центр всего распределе в том числе и аг-вый строй, имеют нормаль ния, 2) среднее квадратическое уклонение ное распределение; следовательно, наиболь каждого горизонтального строя около центра, шая густота точек поля в нрямоугодьниках т.-е. около его пересечения с прямою регрес ж-вого строя находится при центре этого сии (I Г), одинаково для всех горизонтальных строя. Чтобы исследовать распределение для строев и равно: ж-вого строя, положим в формуле (10) пере Vh^ (12') менное х равным данному числу и будем Величину Y—ординату центра аг-вого считать в этой формуле изменяющимся толь строя, выражаемую формулой (11), можно ко у. Получится формула распределения гауссова типа; в ней координата центра вычислить, и не прибегая к этой формуле. В самом деле, Y есть ордината центра ас-вого распределения выразится формулою: строя; для ее нахождения умножаем числен ность п одного пз прямоугольников аг-вого Г=^а>, (11) строя на соответствующую ординату у, скла дываем такие выражения для всех много а среднее квадратическое уклонение в этом угольников aj-вого строя и делим сумму на строе: его чисденпость п . В результате получится величина Y. Все эти центры строев будут <у 1/Т^Я (12) лежать на одной прямой, если распределение Формула (И) показывает, что центры строго нормальное и все вычисления безу распределения всех вертикальных строев словно точны. Конечно, эти условия на прак лежат на одной прямой, выражаемой уравне тике никогда вполне не осуществляются; но нием (11) и проходящей через центр всего найденные центры строев составляют ряд распределения. Она называется прямой ре точек, расположенных почти на одной пря грессии. Формула (12) есть среднее квадра мой. Пример такого расположення центров тическое уклонение каждого вертикального и соответствующую прямую регрессии можно строя около его центра, лежащего в пересе видеть на черт. 9, заимствованном у Пир чении этого строя от прямой регрессии. сона и выражающем зависимость среднего Из формулы (12) видно, что рассеяние точек роста сына от роста отца. для всех вертикальных строев одинаково и Когда построены центры строев, то можно растет с уменьшенпем г по абсолютной графически на бумаге провести через центр величине. Оно наибольшее, когда г = 0; в всего распределения прямую, возможно близко этом случае величина (12) равна о^ т.-е. проходящую к центрам строев, и определить среднему квадратическому уклонению при тангенс угла наклонения этой прямой коси х. знака у для всего поля. В этом случив зави Найдя этот tg и обозначив буквою $ пред симости между величинами у и а? не суще ставим уравнение (11) в таком виде: ствует, т.-е. корреляции нет никакой. Когда г увеличивается, величина (12) уменьшается, 7= ^ , (13) точки поля располагаются плотнев около ли где нии регрессии; наконец, при г = 2z 1 вели чина (12) обращается в 0, все точки поля 2 r ff 9l r у х х 2 1у 1241-VJJ.