* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

339 Теория вероятностей. 340 ходит этого предела. Многочисленные подобные же проверки постоянно под­ тверждают справедливость формулы. Мы до сих пор предполагали, что над урной произведено один раз боль­ шое число s испытаний, при чем собы­ тие (появление белого шара) произот шло т раз, частость его р а в н а - , а Как только теорема Бернулли была доказана, явилась мысль об ее обоб­ щении на случаи, когда вероятность в течение опытов меняется. Первый шаг в этом направлении принадлежит Пуассону. По его мысли, для каждого испытания берется соответствующая ему урна; вероятность появления бе­ лого и черного шара в 1,2,3,.. .$ урне суть: р g ; р , Р« 4 - Обозначив буквою т число белых шаров, вышед­ уклонение частости от вероятности ших при всех испытаниях, можем сноравно х~-—р. Такой ряд иепытат ний назовем серией испытаний. Пусть ва назвать отношение — частостью. таких серий сделано к. при чем k тоже S число очень большое, и все серии ис­ Возникают вопросы: 1) какова наивепытаний произведены при одинаковых роятнейшая величина частости, 2) ка­ условиях; величины получившихся кова вероятность уклонения х отдельуклонений мы обозначим так: х х т х ,..., х . Обозначим буквою в выраже­ ной частости - от этого наивероятнейние: шего значения и 3) каков возможный предел уклонения этой частости. Ре­ (3) зультаты оказываются следущие: 1) наивероятнейшая величина частости Эта величина называется средним квад- есть среднее арифметическое из ве­ ратическим уклонением частости от ве­ роятностей появления белого шара в _Pi+Ps-i НА. роятности при данных условиях. На отдельных урнах р • $ основании приведенных выше формул можно показать, что при весьма боль­ эта величина называется среднею ве­ шом k величина я выражается через роятностью; 2) вероятность Р данной величины т , или, что то же, соответг формулою: т (4) ствующего уклонения х — -— р, в V2 а большинстве случаев приближенно вы­ Если бы почему-либо величины А мы ражается формулою: не знали, но могли бы из наблюдений (Г) над появлением шара по формуле (3) найти о, то формула (4) дала бы нам приближенную величину я. В теоре­ где: тических выводах, о которых мы сей­ ; (20 ^РгЯ^-х-РчЯчЛ ЬРаЯ» час говорим, такого случая не встре­ тится, но в практических вычислениях часто приходится пользоваться фор­ 3) обозначая буквою с такое число, что Ф(с) можно принять за единицу, най­ мулою (4) для вычисления я. В предшествующих рассуждениях мы дем, что уклонение х не может быть говорили о примере урны с определен­ больше, чем При большом числе 5 ным числом белых и черных шаров, при чем это число во все время испы­ величина К весьма велика, поэтому таний не меняется. Само собою понят­ найденный предел очень мал. Этот но, что рассуждения останутся в силе и при всяких других опытах (с моне­ результат носит название теоремы тою, игорною костью, рулеткою), лишь Пуассона, иначе она называется зако­ бы в этих опытах существовала основ­ ном больших чисел.Ио этой теореме укло­ ная вероятность (как вероятность по­ нение частости от средней вероятности явления белого шара), постоянная во при пуассоновых условиях будет рав­ няться очень малой величине. Сравнивая всех испытаниях. и t 2 S ъ ъ 3 к т