* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
335
Теория вероятностей.
336
каждом новом испытании вероятность события не зависит от результатов предшествующих: испытаний, то вели чину Р можно вычислить, применяя упомянутую выше теорему умножения вероятностей и формулы теории соеди нений. Получится следующее:
т
р
и
1.2.3.
т
п
* ~~1.2.3.../я.1.2.3...п^ Из алгебры известно, что эта фор мула есть общий член бинома (р + qf. Следовательно: где е — основание Неперовых логариф (р + y = Р + P + Р +.. • + Р мов, равное =2,71828..., извест Т. к. р + q — 1, то мы находим: ное из геометрии число—3,141592..., Л—независящий от m параметр, опреде Р +Л + ^И Ь Л = 1. ляемый равенством: Все слагаемые в левой части поло жительны, следовательно все они мень ше 1. Чтобы составить себе наглядное представление об этих членах, при а х—переменная величина, выражаю бегнем к графическому способу. На щаяся через от равенством: х=~—р m m Т. к. - есть отношение числа поs явлений белого шара к числу * всез испытаний, т.-е. частость появленщ белого шара, а р—вероятность появле ния белого шара, то х есть уклонены частости от вероятности, величин} которого нам надо рассмотреть, чтобь ЧСерт. 1. судить, в какой мере частость можнс считать за приближенную величин? горизонтальной прямой (оси абсцисс) отложим от начала координат О от вероятности. Т. к. выражение (1) е ш резки, равные О, 1, 2, - • 5,—так назы вероятность того, что т равно данной ваемые абсциссы; в конечных точках величине, то эта же формула выра их восставим перпендикуляры (орди жает вероятность того, что уклонены* наты), соответственно равные: Р , P равно данному числу х. Рассматривая кривую (1), видим, чт( Р ...,Р*. Соединив конечные точки ординат, получим ломаную линию, вы наибольшая величина ее ордината ражающую закон вероятностей слож соответствует значению х = 0, при чел ных событий при 5 испытаниях. она равна --—=• Следовательно, наиве Какие бы примеры мы ни брали, SV71 мы всегда заметим, что крайние точки роятнейшая величина уклонения х есть О ломаной имеют ординаты очень ма а потому наивероятнейшее значении лые, в средней части ломаной есть т есть sp. Наивысшая точка криво* одна вершина, лежащая наиболее вы (1) соответствует абсциссе х=0; начи соко над осью абсцисс: ордината ее ная от этого места, в обе сторонь наибольшая, а от этой точки влево и ординаты точек кривой (1) уменына вправо ординаты вершин уменьшают ются и тем быстрее, чем больше А ся (черт. 1). С увеличением s, протя Чтобы иметь некоторое наглядно) жение ломаной по оси абсцисс беспре представление о виде кривой (1), я дельно растет, ординаты же ее вер черт. 2 изображены такие кривые шин уменьшаются, -jx. к. сумма их 1) для Л = 1, 2) для h — 2. Мы видим
q 0 t 2 г
« —
4
остается постоянно равной 1, а число ординат $ 4 - 1 увеличивается. Вершины ломаной составляют ряд отдельных точек; для уяснения особен ностей в их расположении и для бо лее простого способа вычисления их ординат проводят плавную аналити ческую кривую, близко подходящую к вершинам ломаной. Строя такую кривую, приходим к уравнению:
0
0
it
ъ