* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
450' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 451' жив в ее основу более сложный, трансфи ставляет .множество", или .многообразие" нитный ряд; это даст трансфинитную ариф Много примеров многообразий мы уже метику. К этому мы еще вернемся. рассмотрели ранее. Многообразие, или мно 28. Понятие о числе по Г Кантору. жество (по Кантору) задано, если устано Система теоретической арифметики, изло влен критерий, на основании которого м ы женная выше, по существу есть творение относительно каждого предмета (каждого трех лиц: Грассмана, Шредера и Пеано. объекта нашего мышления) можем устано Характерной особенностью этой системы вить, составляет ли он элемент этого много является то, что точкой отправления здесь образия или нет. служит натуральный ряд, т.-е. совокуп В главе 10 было обстоятельно выяснено, ность элементов, расположенных после что значит установить совершенное (однодовательно таким образом, что имеют однозначное) сопряжение одного множества место следующие три положения: 1) ка с другим. Если два множества 21 и 23 мо ждому элементу соответствует один и гут быть приведены одно с другим в со только один следующий (точнее непосред вершенное соответствие, то, по термино ственно следующий) элемент; 2) каждому логии Кантора, они имеют одинаковую элементу, кроме начального, соответствует мощность. Если два множества не имеют один и только один предыдущий элемент, одинаковой мощности, т.-е., если они не и, наконец, 3) имеет место закон со могут быть связаны совершенным соответ вершенной индукции. Целые числа, служа ствием, но множество % может быть свя щие членами этого ряда, фигурируют, та зано совершенным соответствием с не ким образом, в арифметике Грассмана как которой частью множества 93, то гово числа порядковые. Их количественное зна рят, что множество 3 имеет меньшую 1 чение скрадывается, — по мнению Канторамощность, нежели множество SB, или, (Georg Cantor, 1845 —1918) — вовсе отсут что множество 93 имеет большую мощ ствует в этой системе. Между тем не тольконость, нежели множество ?f. Таким об в приложениях практического характера, разом устанавливается понятие о мощно но и в самой же арифметике именно коли сти, как о признаке, по которому м мо ы чественный характер целых чисел играет жем судить о возможности установления очень важную, можно даже сказать, пер однооднозначного соответствия между дву венствующую роль. Ведь с первых же ша мя многообразиями. гов м говорим здесь: „два, три числа", Определяя, при каких условиях множе ы .два, три слагаемых* и т. д., и вкладываем ство % имеет меньшую мощность, нежели в эту терминологию не то содержание, что множество 93, мы привели два критерия, „два* есть член натурального ряда, следую совокупностью которых это понятие щий за членом „один", а „три"—член, сле устанавливается: во-первых, множество 3 1 дующий за членом „два"; мы вкладываем не может быть приведено в совершенное в эти термины количественное содержание, сопряжение с множеством 53; во-вторых, которое совершенно отсутствует в грассма- множество Ш должно сопрягаться с неко новой арифметике. Это обстоятельство Г. торою частью множества S3. На первый Кантор справедливо считает настолько важ- взгляд может казаться, что первый из этих ным.что требует если не полной перестройкипризнаков представляет собой следствие грассмановой арифметики, то существенного второго. В самом деле, если множестве 3t ее пополнения. Став на этот путь, Кантор сопрягается с частью множества 93, то ка построил теорию, не только глубоко изме залось бы, что оно вследствие этого не нившую и дополнившую арифметику может быть сопряжено с множеством в егоГрассмана, Шредера и Пеано, но факти целом. Однако, это не так. Дело в том, чески составляющую в настоящее время что существуют множества, которые могут основание теории функций действительного быть приведены в совершенное соответ переменного. Долгое время эта теория была ствие со своею частью. Примером этого известна под названием „учения 6 множе может служить натуральный ряд. В самом ствах" (Mengenlehre); в настоящее время, деле, напишем натуральный ряд, а под ним, особливо после работ Цермелло (см.), она элемент за элементом, подпишем тот же вошла как составная часть в теоретическую натуральный ряд, начиная его, скажем, арифметику и теорию функций. с элемента 5: Если для Грассмана точкой отправления 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, служит натуральный ряд и лежащая в ос нове его идея последовательности, то для it it i t It i t i t it Кантора исходным пунктом служат два 5, 6, 7. 8. 9, 10, 11, . понятия, уже выясненные выше: поня тие о множестве и понятие о сопряжении. Каждому элементу первого ряда отнесем Совокупность объектов, тем или иным в качестве соответствующего стоящий под признаком объединенных в одно целое, со ним элемент второго ряда, и обратно. Ясно,