* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
436' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 437* числу п в натуральном ряду. Это соглаше совпадает с (2а); при л < 0 оно пред ние распространим на все члены двусто ставляет собою ищ-лктивное определение роннего ряда; иными словами, во всем дву того, что значит прибавить отрицательное стороннем ряду будем считать число тп число. Для того, чтобы для двойного рядабольшим, чем число л, или меньшим, чем при помощи совершенной индукции дока оно, смотря по тому следует ли m за п, или зать некоторое предложение, нужно обна предшествует ему. Вследствие такого со ружить, что всякий раз, как предложение глашения всякое отрицательное число мень это оказывается справедливым для некото ше нуля; это имеет лишь то содержа рого числа а, оно справедливо также дл* ние, что отрицательное ч ело предшествует следующего числа а -}- ( -f-1) и для пре нулю в двустороннем натуральном ряду. дыдущего а 4- (— 1). Эти две части дока Чтобы отличать числа, следующие за нулем зательства обычно очень мало отличаются (положительные), от предшествующих нулю одна ог другой. Рассуждения, таким обра (отрицательных), первые отмечаются зна зом, несколько усложняются; но зато по ком-}-, вторые—знаком—. Эти определения лучается база, на которой учение о поло не содержат в себе ничего неотчетливого жительных и отрицательных числах можно* и лишают учение об отрицательных числах строить одновременно. какого бы то ни было мистического эле Позднейшие авторы, главным образом мента, который так пугал математиков ран Штольц, идут другим путем. К учению ней поры. о положительных и отрицательных числах Теория действий над элементами двусто они приступают после того, как учениероннего натурального ряда (положительны о всех арифметических числах уже по ми и отрицательными целыми числами) строено. Это имеет ту хорошую сторону, развивается совершенно так же, как и уче что соответствует историческому ходу ние об арифметическом натуральном ряде, эволюции понятия о числе. Самое построе изложенное в главе 20. Разница заключает ние выполняется следующим образом. ся лишь в том, что как индуктивные опре В связи с каждым арифметическим чис деления, так и индуктивные доказательства лом а введем два новых символа (термина, должно вести в двух направлениях, рас понятия) -\~а и —а; первое будем назы пространяя содержащуюся в них идею в вать положительным числом, второе обе стороны натурального ряда. Так, сло отрицательным; арифметическое числожение определяется индуктивно соотноше а будем называть абсолютным значением ниями: обоих чисел. Таким образом, над компле ксом арифметических чисел надстраивается a 4* 0 = а, а 4- 1 = а', а -4- (п -f-1) = двойной комплекс чисел—положительных и = (а 4-л) 4-1, отрицательных. Прежде всего этот комплекс нужно претворить в величину, т.-е. нужно где а' есть член натурального ряда, сле установить критерии сравнения. Это дости дующий за л . В новых обозначениях эти гается следующими соглашениями. соглашения, относящиеся только к поло 1) Два положительных числа или, со жительным числам, должны быть написаны ответственно, два отрицательных числа следующим образом: мы будем считать равными, если равны их абсолютные значения. а+0=а, д 4 - ( + 1 ) = я ' , а4-[л+(4-1)1 = =*(а + п) + ( + 1) (1). 2) Из двух неравных положительных чисел мы будем считать ббльшим то, К этим соотношениям должны быть теперь абсолютное значение которого больше. присоединены, в качестве определения, ра 3 Из двух неравных отрицательных чи венства: сел мы будем считать ббльшим то, которое а=а> + (-1) (2а), имеет меньшее абсолютное значение. 4) Всякое отрицательное число меньше л - г [ я + ( - 1 ) ] = ( д 4 л ) + ( - 1 ) (2Ь). всякого положительного. 5) Числа 4-0 и —0 равны и имеют то Первое из них устанавливает, что придать же значение, что их абсолютное значение к числу at отрицательную 1 значит взять нуль. предшествующий член ряда. Во втором ра 6) Нуль меньше всякого положительного венстве, после этого соглашения, л 4- ( — 1) числа и больше всякого отрицательного есть член натурального ряда, непосред числа. ственно предшествующий числу л, а Что эти критерии сравнения удовлетво (а 4 л) -f- ( — 1) есть член ряда, не ряют постулатам сравнения, обнаружить посредственно предшествующий числу чрезвычайно легко. {a-f- л). Поэтому при л > 0 равенство (2Ь) Полученная таким образом величина об выражает теорему, которая может и должна разует новый комплекс, элементы которогобыть доказана. При л = 0 равенство (2Ь) прежде, в отличие от арифметических чисел»