* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
434' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 435' магупта, см.; VII ст. н. э.). Они появляются и ниже нуля представляем себе тоже еди здесь в качестве „имущества* и „долга" и ницу и числа." даже иногда для обозначения противопо „По этому поводу можно было бы напи ложных направлений на прямой. Отрица сать целую новую книгу о чудесных свой тельные числа отмечаются точкой над чис ствах чисел; но я должен от этого воздер лом. И все же другой индусский математик жаться и упти с закрытыми глазами.'* Вхаскара (см.), живший в XII ст., говорит, И все же великий творец современной что „люди не одобряют абсолютных отрица алгебры Бает {см. II, 91/94) еще совершен тельных чисел" (слово „абсолютных" нужно, но отрицает возможность введения отри повидимому, понимать как „отвлеченных"). цательны t чисел. Арабы совершенно отвергают отрицатель Полное право гражданства отрицательные ные числа, их еще не знает и Леонард Ли числа получили только со времени Декар ванский. Но в XVI ст. отрицательные числа та', без них аналитическая геометрия Деуже твердо прокладывают себе путь. Фран карга была бы невозможна, и могуществен цузский математик Шюке (Chuquet,B кон ное значение идей Декарта в области гео це XV ст.) оперирует отрицательными чис метрии повлекло за собой призн шие лами уже довольно смело. Но совершенно отрицательных чисел. Лейбниц, Ньютон. решительно становится на этот путь Ми Даламбер, Маклорен, Роллъ, наконец, хаил Штифель (Michael Stilel). В своем Эйлер положили отрицательные числа в ос •сочинении „Arithmetica integra" (1544) он нову алгебры на равных правах с положи помещает особую главу, носящую заглавие тельными, сделали их созершенно неизбеж „De signis additorum et substractorum et de ным средством математического исследова numeris absurdis*. Рассуждения, которые ния, и возражения против введения их в ма Штифель приводит, настолько любопытны тематику замолкли. Но это не значит, что и характерны, что мы приведем некото введение отрицательных чисел было дей рые извлечения из них (в переводе проф. ствительно обосновано. Напротиз, это по И. Ю. Тимченко). требовало еще многих усилий. К обоснова „Правило умножения и деления, посколь нию учения о положительных и отрица ку оно касается умножения, обнимает че тельных числах естг, два пути: один был тыре различных случая следующего рода: указан Гроссманом, другой тщательно про веден Штольцем Как мы видели, естественным фундамен 04-6 0 — 6 04-6 0 — 6 том всей арифметики служит учение о 0-4-4 0 — 4 0 — 4 0 + 4 целых числах. Основная идея Грассмана 04-241 0 + 24j 0 — 24! 0 — 24; заключается в том, что учение о целых отрицательных числах должно быть по поскольку же оно касается деления, оно строено одновременно с учением о целых обнимает четыре подобных же различных положительных числах. С этой целью он случая." продолжает натуральный ряд в противопо „Ты видишь, конечно, что все это с пер ложную сторону. Ведь, по существу, основой вого взгляда очень похоже на самый пу учения Грассмана служит то обстоятель стой вздор; и однако же выполненные со ство, что натуральные числа представляют образно с этим алгебраические действия собой элементы расположенного ряда; этот приводят к изобретениям, поистине" удиви ряд начинается с некоторого элемента, ко тельным. Но чтобы яе пропустить ничего торый мы обозначаем символом 0, за кото из того, что относится к целостной систе рым следуют элементы 1, 2, 3, Мы до ме арифметики, по мере своих сил я дол полним ряд элементами, предшествующ чин жен, как мне кажется, сказать в этом ме элементу 0; именно, элемент, непосред сте о воображаемых числах ниже нуля." ственно предшествующий элементу 0, мы „Подобно тому, как мы представляем се обозначим через —1, ему предшествую бе различные корни из чисел, не имеющих щий—через—2, ему предшествующий—че таких корней, и это представление оказы рез —3 и т. д. Получается двусторонний вается в высшей степени полезным в при ряд; элементы, следующие за элементом О, менении к математике, так же не без поль будем называть положительными числами, зы представляют себе и числа ниже нуля." я элементы, предшествующие элементу 0, .Таким образом искусство счета в виду будем называть отрицательными числа неограниченности запаса своих средств ми; сдмое число нуль можно относить к обе обычно пользуется и тем, что существует, им категориям или ни к одной из них. и тем, что лишь представляется как суще Признаком того, что натуральное число т ствующее. Ибо, подобно тому, как выше больше числа п, мы считали го обстоятель •единицы полагаем целые числа, а ниже ство, что оно следует за числом п в нату единицы представляем себе доли единицы, ральном ряду; и наоборот, следовательно, так выше нуля полагаем единицу с числами т < п означает, что число т предшествует