* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
428' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 429' дифференциальное исчисление занимается катетом, то конечной точке этого отрезка непрерывными величинами; однако же нигде никакое рациональное число отвечать не не дают определения этой непрерывности будет. Ряд точек прямой об.-льнее, нежели и даже при самом строгом изложении диф ряд рациональных чисел; несмотря на гу ференциального исчисления доказательства стоту последнего (между любыми, сколь не основывают на непрерывности, а апел угодно близкими, двумя рациональными чи лируют более или менее сознательно либо слами содержится бесчисленное множество к геометрическим представлениям, либо других рациональных чисел), в нем есть к представлениям,которые берут свое начало пробелы — он «I? непрерывен. Задача, кото в геометрии, либо, наконец, основывают рую себе поставил Дедекинд, заключалась доказательства на положениях, которые прежде всего в том, чтобы эти пробелы, сами никогда не были доказаны чисто ариф это отсутствие непрерывности констатиро вать, не прибегая к геометрической ана метическим путем.'* Итак, Дедекинд прежде всего связывает логии. Вот как он достигает этой цели. введение понятия об иррациональном числе Ряд рациональных чисел может быть мно с обоснованием идеи о непрерывности. В чем гообразно рассечен на две группы таким же заключается связь между этими поня образом, чтобы каждое число одной груп пы было больше каждого числа другой тиями? Если мы возьмем луч, т.-е. часть прямой группы. Например, мы можем отнести к линии, расположенную по одну сторону от первой группе все рациональные числа, не некоторой .начальной" точка О, то между превосходящие 4, а ко второй все числа его элементами,—точками, и рядом рацио большие 4; ясно, что при этих условиях нальных чисел существует аналогия: точки каждое число второй группы превышает луча по мере удаления от его начальной любое число первой группы. Такое расще точки следуют друг за другом в определен пление ряда рациональных чисел Дедекинд ном порядке подобно тому, как следуют друг называет сечением. за другом возрастающие рациональные чис Существо дела заключается в том, что ла. Относительно каждых двух точек лу возможны два рода сечений. Приведенный ча М и М можно сказать, которая из двух пример представляет собою сечение перво следует за другой; и если точка М' сле го рода; оно характеризуется тем, что пер дует за М, а точка М" следует за М', то вая группа имеет последний (наибольший) и точка М следует за М (транзитивность элемент 4. Естественно, что вторая группа понятия „следует ). В соответствии с этим крайнего элемента уже не имеет: в нее находится и наше представление о прямой, входят числа, большие 4; наименьшего сре как о ряде следующих друг за другом то ди них уже нет. Можно число 4 перенести чек. Точно так же рациональные числа об во вторую груп iy; тогда первая группа не разуют аналогичный ряд: из двух различ будет иметь последнего (наибольшего) эле ных чисел т и пг' одно больше другого, и мента, но вторая будет иметь первый (наи если т' > т, а т" > т'> то т" > т (тран меньший) элемент. Характерным для этого зитивность понятия „больше"). Эта анало сечения является, следовательно, то обсто гия служила основанием для тех геометриче ятельство, что существует элемент (число 4), ских соображений, на которые, как указы который может завершить первую группу вает Дедекинд, приходится опираться при или начать вторую. Можно выделить это изучении числового ряда. число из обеих групп и сказать, что оно Но между рядом точек на луче и рядом это сечение производит в том смысле, рациональных чисел есть и существенная что оно как бы разделяет ряд натуральных разница. Когда точка М продвигается вдоль чисел на две группы: к одной относятся по лучу от его начальной точки, то отрезок числа, ббльшие его, к другой — меньшие; ОМ постоянно возрастает, как возрастают самое же это число мы можем отнести либо элементы числового ряда — рациональные к одной, либо к другой группе. Такого рода числа. Если принять определенный отрезок сечения мы будем называть замкнутыми, а за единицу, то можно будет измерять отрез пограничное для обеих групп число будем ки или выражать их числами; при этом каж называть замыкающим. Есть, однако, сече дому рациональному числу т будет отве ния иного рода, в которых замыкающего чать такая точка М, что отрезок ОМ бу числа нет. Если, например, разделить все дет выражаться числом т. Но обратное не рациональные числа на две группы, отно имеет места: не всякий отрезок ОМ выра ся к первой все числа, квадраты которых жается рациональным числом. В ряду ра меньше 2, а ко второй все числа, квадраты циональных чисел не хватает чисел для выра которых больше 2,—то ни первая, ни вто жения длины всякого отрезка. Если, напр., рая группа замыкающего числа не имеют: •or вершины О отложить на луче отрезок, нет наибольшего числа в первой группе, равный гипотенузе равнобедренного прямо нет наименьшего числа во второй группе; угольного треугольника с рациональным в самом деле, произведя приближенное изг п -