* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

424' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 425' гочленов, установленные для целых чисел, остаются в силе и для дробей. В этом заключается сущность эволюции понятия о числе. Понятие о числе расши­ ряется: устанавливается более обширный комплекс чисел, содержащий в себе прежний как частный случай. В этом расширенном комплексе устанавливаются основные ариф­ метические операции с соблюдением закона перманентности и основных законов фор­ мальных преобразований. Этим расширением числовой области до­ стигается важное преимущество. В области целых чисел деление на целое число вообще неосуществимо; это значит: если а и b суть два целых числа (члены натурального ряда), то не всегда существует целое число х, удовлетворяющее соотношению деляет это действие для всякого рациональ­ ного а соглашениями: at = а, а + =а -а т г т (1 ^ После того, что выше было изложено, вряд ли нужно объяснять, что равенства (1) вы­ ражают индуктивное определение степени (конечно, с целым показателем): первое из. них устанавливает, что под символом я* мы будем разуметь самое число а; второе уста­ навливает, что под символом а мы ра­ зумеем произведение числа а на а. Основные соотношения т+1 т а Хл = а т п т+п на -а т п =а ~ (т т п > п) (2) а — Ъ.х (12). Напротив того, существование такого числа составляет только исключение, которое мы характеризуем термином: а кратно Ь. Ме­ жду тем для дробей такое число всегда су­ ществует: при а легко выводятся из определений (1). Но введение этой новой прямой операция не­ посредственно приводит и к обратной, к извлечению корня. Здесь задача заключается в том, чтобы по данному рациональному числу А и целому числу т найти такое число х, при котором х = А т (3).. В области рациональных чисел эта задача до­ пускает решение только в исключительных случаях. Уже пифагорейцам было известно, та что У 2 не выражается рациональным чи­ имеем х — —— слом. Доказательство этого предложения мы пр находим и у Евклида, которого к идее обРазыскание числа х (деление) представляет иррациональных величинах приводят со­ собою действие, обратное умножению в том ображения чисто геометрического характера. смысле, что по результату умножения и В самом деле, процесс разыскания общей одному из данных для умножения чисел меры двух отрезков естественно приводит (сомножителей) разыскивается другое число к идее несоизмеримых отрезков, отношение, (другой сомножитель). которых не выражается рациональным чис­ Есть существенная разница между уста­ лом. Теорема Пифагора дала для этих новлением т. н. прямых операций — сложе­ размышлений новый материал. Так назы­ ния и умножения—и обратных. Первые опре­ ваемый „египетский треугольник", катеты деляются для целых чисел индуктивно, для которого равны 3 и 4, а гипотенуза равна 5, дробей формально—соглашениями (2) и (11). послужил, повидимому, наводящим указа­ В том и в другом случае определение со­ нием для открытия основного соотношения держит непосредственно алгорифм дей­ между сторонами прямоугольного треуголь­ ствия, т.-е. определенные правила, на осно­ ника. Когда это соотношение было уста­ вании которых по двум данным числам новлено, то равнобедренный прямоугольный, можно разыскать сумму и произведение треугольник, катеты которого равны 1 дли­ данных чисел. Определения обратных дей­ ны, приводил к разысканию числа V2, ко­ ствий—вычитания и деления — такого алго­ торым должна в этом случае выражаться рифма не содержат. Ставится задача, реше­ гипотенуза. Эта именно задача привела уже нием которой определяется разность и част­ пифагорейцев к сознанию, что не всякий ное двух чисел. Но задача не всегда имеет отрезок выражается рациональным числом. решение. В области целых чисел часто не Для Евклида это обстоятельство являетсярешается ни задача о вычитании, ни задача одним из основных вопросов в деле обосно­ о делении. Расширение числового материала вания геометрии. Решению этого вопроса до области рациональных чисел приводит посвящены две книги .Начал* — пятая, со­ к тому, что одна из этих операций, деле­ держащая теорию пропорций, и десятая, ние, оказывается всегда осуществимой. непосредственно посвященная иррациональ­ 22. Учение об арифметических числах. ным величинам. Из тех затруднений, кото­ К числу прямых операций — сложению и рые возникали на почве решения вопроса, умножению—присоединяется третья опера­ о несоизмеримости значений геометрической ция: возвышение в степень. Грассман опре­ ~тг и й = ? °)