* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

420' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. тии, так и в ходе теоретической конструк­ ции, возникает как член натурального ряда, а затем расширяется—эволюционирует. Первым этапом в ходе этой эволюции является введение дробей. У Грассманаэто выполнено неудачно; Э. Шредер (Schro­ der) и О. Штольц (Stolz) провели учение о дробях совершенно строго; мы изложим здесь сущность этого учения. Пусть тип будут два натуральных числа, из которых второе .отлично от нуля. Мы построим из них новый символ, ском­ бинировав их так или иначе. Совершенно безразлично, как графически этот комбини­ рованный символ изображать: ему можно = *»"//*"• Таким же образом докажем тран­ зитивность соотношений „больше* и „мень­ ше" для дробей, а также возвратность и обратимость равенства. Все постулаты срав­ нения соблюдены, и совокупность дробей, таким образом, претворена в величину! Критерий сравнения двух дробей можно еще выразить следующим образом. Числи­ тель первой дроби и знаменатель второй будем называть крайними членами срав­ ниваемых дробей, а знаменатель первой и Числитель второй—средними членами, Со­ глашение, установленное для сравнения дробей, сводится к тому, что первая дробь равна второй, если произведение крайних членов равно произведению средних; пер­ придать вид —, или ™(п, или т: п, или вая дробь больше второй, если произведе­ ние крайних больше произведения средних, даже (от, л). Будем придерживаться наибо­ первая дробь меньше второй, если произ­ ведение крайних членов меньше произве­ лее принятых обозначений ^ , или &1п. дения средних. Этого рода символы мы будем называть Согласно основному условию, знаменатель дробями, число т — числителем,чяст я — дроби можег быть равен также I , т.-е. знаменателем дроби: согласно основному среди дробей имеются также дроби вида условию.знаменател ь всегда отличен от нуля. mj .с любым числителем т. Условимся под Совокупность дробей мы претворим в дробью /i разуметь целое число т, т.-е. величину. Для этого мы должны установить под символом /i условимся разуметь то критерии сравнения, т.-е. соглашения от­ же, что и под символом т. Вследствие носительно тиго, при каких условиях мы этого соглашения совокупность дробей будем считать одну дробь равной другой, включает в себя все целые числа. Дроби больше или меньше другой дроби. Пусть образуют, таким образом, комплекс, часть т/ m'j t будут две дроби. С ставим про­ которого составляют целые числа. Их по­ изведения тп' и т'п; если тп* — т'п, то этому также называют числами, но в отли­ мы будем говорить, что дробь /п равна чие от исключительно целых чисел их на­ дроби tn'jrt {mj = т'/ ,у если тп' > т'п, зывают рациональными числами. Переход мы будем говорить, что дробь больше от целых чисел к рациональным предста­ дроби т'/п' ( /п > '/п'У, если тп' < т'п, вляет собой,таким образом, первый шаг, пер­ то мы будем говорить, что дробь ™/ вый этап в ходе эволюции понятия о числе. меньше дроби ( /п < '/n'). Наше Далее, из критериев сравнения вытекает, право установить эти соглашения основано что дробь не меняет своего значения, если на том, что они удовлетворяют всем восьми числитель и знаменатель ее умножить или постулатам сравнения. В самом деле, одно разделить на одно и то же число. Точнее, из трех соотношений тп' = т'п, тп'>т'п если числитель и знаменатель дроби умно­ и тп' < т'п всегда имеет место, при чем жить ил» разделить на одно и то же чис­ первое исключает два других, как это уста­ ло, то мы получим дробь, равную исход­ новлено для целых ч .сел. Следовательно, ной. Это вытекает из того, что для двух для всяких двух дробей гп/ и m'jn' имеет дробей гпр/пр и « / произведение средних место одно из соотношений: / л = л * / л ' , членов всегда равно произведению крайних. /п ~> 'ln' /п < 1п , при чем первое ис­ На этом предложении в обычном порядке ключает два других; это значит, что первые основывается сокращение дробей и приве­ три постулата сравнения удовлетворены. дение их к общему знаменателю. В частно­ Докажем теперь транзитивность равенства сти, отсюда вытекает, что всякая дробь "*/ дробей. Пусть /п = '/п' И rn>( t — m»f ., в которой числитель представляет собою это значит: тп' = т'п и т'п" = т"п'. Ра­ число, кратное знаменателя, так что m=n.k, венство двух целых, чисел не нарушается, представляет собою целое число; в самом k. если оба члена равенства умножить на деле, «/« — nkj — kj Теперь уже нетрудно перейти к действиям •одно и то же целое число. Умножая обе будут две части первого равенства на п", а второго над дробями. Пусть «/„ и на л, получим тп'п" = т'пп", т'пп" = дроби. Приведем их к общему знаменателю = т"пп'. Отсюда вследствие транзитивности Подучим: равенства целых чисел получим: тп'п" == т __М т!_ М_ = т"пп', а так как п' отлично от нуля, то •отсюда следует: тп" = т"п, т.-е. [п — x m m п и n т n п г т т п т ni п я т т m т т г t Я) т т n n t n t = т